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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 17

Determine os comprimentos das curvas nos Exercícios 17-20.17. y = x 1 / 2 - 1 3 x 3 2 ,     1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Essa questão não tem segredo, só precisamos aplicar a função na fórmula do comprimeto do arco:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Então vamos derivar a função dada, para acharmos f ' x :

f ' x = 1 2 x - x 2

Aplicando na integral, com limites de integração a = 1 e b = 4 :

L = ∫ 1 4 1 + 1 2 x - x 2 2 d x

L = ∫ 1 4 1 + 1 4 x - 1 2 + x 4 d x

L = ∫ 1 4 1 4 x + 1 2 + x 4 d x

Perceba que o resultado é muito parecido com o da derivada ao quadrado, a única coisa que mudou foi o - 1 / 2 por 1 / 2 . Podemos reescrever a raiz como sendo:

L = ∫ 1 4 1 2 x + x 2 2 d x

L = ∫ 1 4 1 2 x + x 2 d x

L = x + x 3 / 2 3 1 4

L = 4 + 4 3 / 2 3 - 1 + 1 3 / 2 3

L = 2 + 8 3 - 1 + 1 3

L = 1 + 7 3

L = 10 3

Resposta

L = 10 3

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Desenha a curva e visualmente estime o comprimento. Depois ache o seu comprimento exato. y = 2 3 x 2 - 1 3 2 ,1 ≤ x ≤ 3
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. y = x e - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
Ache o comprimento da curva.y = 1 + 6 x^(3 // 2) , 0 = x = 1
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva.y = 1 + 6 x^(3 // 2) , 1 = x = 2