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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.2 - Ex. 44

Suponha que f 2 = - 3 ,   g 2 = 4 ,   f ' 2 = - 2 e g ' 2 = 7 . Encontre h ' 2 .

a) h x = 5 f x - 4 g x

b) h x = f x g x

c) h x = f x g x

d) h x = g x 1 + f x

Passo 1

Foi nos dado que f 2 = - 3 , g 2 = 4 , f ' 2 = - 2 e g ' 2 = 7 .

Queremos encontrar o valor de h ' ( 2 ) para cada item, onde o valor da função h é dada pela soma/subtração, multiplicação ou divisão entre as funções f e g .

Dessa forma, vai nos ajudar usar a regra do produto, onde:

h x = f x g x

Então

h ' x = f ' x g x + f x g ' x

E a regra do quociente, onde:

h x = f x g x

Então

h ' x = f ' x g x - f x g ' x g 2 x

Passo 2

h x = 5 f x - 4 g x .

A derivada de h ( x ) , neste caso, será a derivada de cada parcela da função h ( x ) . Assim, temos :

h ' x = 5 f ' x - 4 g ' ( x )

Logo, para x = 2 , teremos que:

h ' 2 = 5 f ' 2 - 4 g ' 2

= 5 - 2 - 4 7 = - 10 - 28

= - 38

Essa foi fácil, vamos para as próximas.

Passo 3

b)

h x = f x g x

A derivada de h ( x ) , neste caso, será dada pela Regra da Derivada do Produto. Assim, temos:

h ' x = f ' x g x + f x g ' ( x )

Logo, para x = 2 , teremos que:

h ' 2 = f ' 2 g 2 + f 2 g ' 2

= - 2 4 + - 3 7 = - 8 - 21

= - 29

Passo 4

c)

h x = f x g ( x )

A derivada de h ( x ) , neste caso, será dada pela Regra da Derivada do Quociente. Assim, temos:

h ' x = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Logo, para x = 2 , teremos que:

h ' 2 = f ' 2 g 2 - f 2 g ' 2 g 2 2

= - 2 4 - - 3 7 4 2 = - 8 + 21 16

= 13 16

Passo 5

d)

h x = g x 1 + f ( x )

A derivada de h ( x ) , neste caso, será dada pela mesma regra do item " c " . Assim, temos:

h ' x = g ' x 1 + f x - g x 0 + f ' x 1 + f x 2

Logo, para x = 2 , teremos que:

h ' 2 = g ' 2 1 + f 2 - g 2 f ' 2 1 + f 2 2

= 7 1 + - 3 - 4 - 2 1 + - 3 2

= - 14 + 8 4 = - 6 4 = - 3 2

Resposta

a ) - 38

b ) - 29

c )   13 / 16

d ) - 3 / 2

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(a) Use a regra do quociente para derivar a função f x = tg ⁡ x - 1 sec ⁡ x (b) Simplifique a expressão para f ( x ) , escrevendo-a em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x , e então encontre f ' ( x ) (c) Most
Suponha que f π 3 = 4 , e f ' π 3 = - 2 , e faça g x = f x sen ⁡ x e h x = cos ⁡ x f x Encontre (a) g ' π 3 e (b) h ' π 3 .
Se H (theta) = theta sen theta , encontre H ' ( theta ) e H " ( theta ) .
Se f x = sec ⁡ x , encontre f " ( π / 4 ) .