Suponha que f(2) = -3 , g(2) = 4 , f'(2) = -2 e g'² = 7 . Encontre h'² .

a) h(x) = 5f(x) - 4g(x)

b) h(x) = f(x) * g(x)

c) h(x) = f(x) / g(x)

d) h(x) = g(x) / (1 + f(x))

Passo 1

Foi nos dado que f 2 = - 3 , g 2 = 4 , f ' 2 = - 2 e g ' 2 = 7 .

Queremos encontrar o valor de h ' ( 2 ) para cada item, onde o valor da função h é dada pela soma/subtração, multiplicação ou divisão entre as funções f e g .

Dessa forma, vai nos ajudar usar a regra do produto, onde:

h x = f x g x

Então

h ' x = f ' x g x + f x g ' x

E a regra do quociente, onde:

h x = f x g x

Então

h ' x = f ' x g x - f x g ' x g 2 x

Passo 2

h x = 5 f x - 4 g x .

A derivada de h ( x ) , neste caso, será a derivada de cada parcela da função h ( x ) . Assim, temos :

h ' x = 5 f ' x - 4 g ' ( x )

Logo, para x = 2 , teremos que:

h ' 2 = 5 f ' 2 - 4 g ' 2

= 5 - 2 - 4 7 = - 10 - 28

= - 38

Essa foi fácil, vamos para as próximas.

Passo 3

b)

h x = f x g x

A derivada de h ( x ) , neste caso, será dada pela Regra da Derivada do Produto. Assim, temos:

h ' x = f ' x g x + f x g ' ( x )

Logo, para x = 2 , teremos que:

h ' 2 = f ' 2 g 2 + f 2 g ' 2

= - 2 4 + - 3 7 = - 8 - 21

= - 29

Passo 4

c)

h x = f x g ( x )

A derivada de h ( x ) , neste caso, será dada pela Regra da Derivada do Quociente. Assim, temos:

h ' x = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Logo, para x = 2 , teremos que:

h ' 2 = f ' 2 g 2 - f 2 g ' 2 g 2 2

= - 2 4 - - 3 7 4 2 = - 8 + 21 16

= 13 16

Passo 5

d)

h x = g x 1 + f ( x )

A derivada de h ( x ) , neste caso, será dada pela mesma regra do item " c " . Assim, temos:

h ' x = g ' x 1 + f x - g x 0 + f ' x 1 + f x 2

Logo, para x = 2 , teremos que:

h ' 2 = g ' 2 1 + f 2 - g 2 f ' 2 1 + f 2 2

= 7 1 + - 3 - 4 - 2 1 + - 3 2

= - 14 + 8 4 = - 6 4 = - 3 2

Resposta

a ) - 38

b ) - 29

c )   13 / 16

d ) - 3 / 2

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