Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 31
(a) Use a regra do quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para , escrevendo-a em termos de e , e então encontre
(c) Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente derivar , usando a regra do quociente. Depois, simplificar , em termos de e , e então derivar novamente. E por fim, mostrar que essas duas derivadas dão o mesmo resultado.
Pra fazer isso, vamos relembrar a regra do quociente rapidinho, fazendo:
Onde é a função presente no numerador e a função do denominador.
Além disso, vamos precisar de duas identidades trigonométricas importantes:
Beleza, agora vamos lá!
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a derivada da função , usando a regra do quociente:
Assim, derivando, temos:
Multiplicando os termos:
Colocando em evidência:
E simplificando:
Agora usando a identidade , vamos ter:
E simplificando novamente:
Essa é a resposta do item (a).
Passo 3
Agora vamos escrever em termos de e , lembrando que e que :
Substituindo as identidades:
Tirando o MMC no numerador:
Fazendo a divisão de frações:
E simplificando, temos:
Passo 4
Agora vamos derivar o resultado obtido no passo anterior:
Como e , temos:
Essa é a resposta do item (b).
Passo 5
Por fim, devemos mostrar que as respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes. Temos as seguintes equações:
(a)
(b)
Se simplificarmos (a) em termos de seno e cosseno, usando as identidades vistas no passo , temos:
Tirando o MMC:
Fazendo a divisão de frações e simplificando:
Que é o mesmo resultado obtido no item (b). Logo, são equivalentes.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
(a)
(b)
(c) Os resultados são equivalentes.