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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 31

(a) Use a regra do quociente para derivar a função

f x = tg ⁡ x - 1 sec ⁡ x

(b) Simplifique a expressão para f ( x ) , escrevendo-a em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x , e então encontre f ' ( x )

(c) Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar f x = tg ⁡ x - 1 sec ⁡ x , usando a regra do quociente. Depois, simplificar f ( x ) , em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x , e então derivar novamente. E por fim, mostrar que essas duas derivadas dão o mesmo resultado.

Pra fazer isso, vamos relembrar a regra do quociente rapidinho, fazendo:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Onde f é a função presente no numerador e g a função do denominador.

Além disso, vamos precisar de duas identidades trigonométricas importantes:

t g   x = sin ⁡ x cos ⁡ x

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Beleza, agora vamos lá!

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a derivada da função f x = tg ⁡ x - 1 sec ⁡ x , usando a regra do quociente:

f ' x = tg ⁡ x - 1 ' ∙ sec ⁡ x - ( tg ⁡ x - 1 ) ∙ sec ⁡ x '   sec ⁡ x 2

Assim, derivando, temos:

f ' x = sec 2 ⁡ x - 0 ∙ sec ⁡ x - ( tg ⁡ x - 1 ) ∙ ( tg ⁡ x sec ⁡ x ) sec 2 ⁡ x

Multiplicando os termos:

f ' x = sec 3 ⁡ x - tg 2 ⁡ x sec ⁡ x + tg ⁡ x sec ⁡ x sec 2 ⁡ x

Colocando sec ⁡ x em evidência:

f ' x = sec ⁡ x ( sec 2 ⁡ x - tg 2 ⁡ x + tg ⁡ x ) sec 2 ⁡ x

E simplificando:

f ' x = sec 2 ⁡ x - tg 2 ⁡ x + tg ⁡ x sec ⁡ x

Agora usando a identidade tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x , vamos ter:

f ' x = tg 2 ⁡ x + 1 - tg 2 ⁡ x + tg ⁡ x sec ⁡ x

E simplificando novamente:

f ' x = 1 + tg ⁡ x sec ⁡ x

Essa é a resposta do item (a).

Passo 3

Agora vamos escrever f x = tg ⁡ x - 1 sec ⁡ x em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x , lembrando que tg ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x e que sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x :

f x = tg ⁡ x - 1 sec ⁡ x

Substituindo as identidades:

f x = sen ⁡ x cos ⁡ x - 1 1 cos ⁡ x

Tirando o MMC no numerador:

f x = sen ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

Fazendo a divisão de frações:

f x = sen ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x ∙ cos ⁡ x

E simplificando, temos:

f x = sen ⁡ x - cos ⁡ x

Passo 4

Agora vamos derivar o resultado obtido no passo anterior:

f ' x = d d x sen ⁡ x - cos ⁡ x

Como sin ⁡ x ' = cos ⁡ x e cos ⁡ x ' = - sin ⁡ x , temos:

f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ x

Essa é a resposta do item (b).

Passo 5

Por fim, devemos mostrar que as respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes. Temos as seguintes equações:

(a) f ' x = 1 + tg ⁡ x sec ⁡ x

(b) f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ x

Se simplificarmos (a) em termos de seno e cosseno, usando as identidades vistas no passo 1 , temos:

f ' x = 1 + tg ⁡ x sec ⁡ x

f ' x = 1 + sen ⁡ x cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

Tirando o MMC:

f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

Fazendo a divisão de frações e simplificando:

f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ x

Que é o mesmo resultado obtido no item (b). Logo, são equivalentes.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(a) f ' x = 1 + tg ⁡ x sec ⁡ x

(b) f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ x

(c) Os resultados são equivalentes.

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