Suponha que g(x) = |f(x)| . Se f^(n)(x) existir e f(x) != 0 , prove que

g^n(x) = f(x) / |f(x)| f^n(x)

Passo 1

O exercício pede para provarmos que a n-ésima derivada da função f x é dada pela expressão f x f x   f n ( x ) . Para provarmos isso, vamos usar a definição da função módulo:

g x = f x = - f ( x ) ,     f ( x ) < 0 f ( x ) ,     f ( x ) ≥ 0

Passo 2

Assim, como podemos tirar a constante ± 1 para fora quando tomamos derivadas, temos que

g n x = - f ( n ) ( x ) ,     f ( x ) < 0 f ( n ) ( x ) ,     f ( x ) ≥ 0

Por fim, podemos escrever o termo ± 1 na frente de f ( n ) como f ( x ) / | f x | , que será - 1 para f x < 0 e + 1 para f x > 0 (sabemos que f x ≠ 0 ). Assim, temos que

g n x = f x f x   f n ( x )

Resposta

Demonstração.

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