Suponha que uma função f seja diferenciável em x 0 e que f ' x 0 > 0 . Prove que existe um intervalo aberto contendo x 0 , tal que, se x 1 e x 2 são dois pontos quaisquer nesse intervalo, com x 1 < x 0 < x 2 , então f x 1 < f x 0 < f x 2 .

Passo 1

Vamos lá, dizer que f ' x 0 > 0 significa que a função f é crescente em x = x 0 .

Como f é diferenciável em x 0 , pelo Teorema 2.2 . 3 f também é contínua em x 0 , portanto tem que existir dois pontos x 1 e x 2 de tal forma que:

x 1 < x 0 < x 2

E isso implica que:

f x 1 < f x 0 < f x 2

Já que f é crescente e contínua.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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