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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 16

Encontre f ' ( x ) :

f (x) = ( 2 sqrt(x) + 1 ) ((2 - x)/(x^2 + 3 x))

Passo 1

Para encontrar a derivada dessa função, vamos usar a regra do quociente:

f (x) = ( 2 sqrt(x) + 1 ) ((2 - x)/(x^2 + 3 x))

Arrumando esse cara:

f (x) = ((4 x^((1)/(2)) + 2 - 2 x^((3)/(2)) - x)/(x^2 + 3 x))

Pela regra do quociente:

f^' (x) = ((4 x^((1)/(2)) + 2 - 2 x^((3)/(2)) - x)^' (x^2 + 3 x) - (4 x^((1)/(2)) + 2 - 2 x^((3)/(2)) - x) (x^2 + 3 x)^')/((x^2 + 3 x)^2)

f^' (x) = ((2 x^(- (1)/(2)) - 3 x^((1)/(2)) - 1) (x^2 + 3 x) - (4 x^((1)/(2)) + 2 - 2 x^((3)/(2)) - x) (2 x + 3))/((x^2 + 3 x)^2)

f^' (x) = (2 x^((3)/(2)) + 6 x^((1)/(2)) - 3 x^((5)/(2)) - 9 x^((3)/(2)) - x^2 - 3 - 8 x^((3)/(2)) - 12 x^((1)/(2)) - 4 x - 6 + 4 x^((5)/(2)) + 6 x^((3)/(2)) + 2 x^2 + 3 x)/((x^2 + 3 x)^2)

:.

f^' (x) = (x^((5)/(2)) - 9 x^((3)/(2)) - 6 x^((1)/(2)) + x^2 - x - 9)/((x^2 + 3 x)^2)

Resposta

f^' (x) = (x^((5)/(2)) - 9 x^((3)/(2)) - 6 x^((1)/(2)) + x^2 - x - 9)/((x^2 + 3 x)^2)

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