Suponha que a função f tenha por domínio todos os números reais. Determine se cada uma das funções a seguir pode ser classificada como par ou ímpar. Explique.

(a) g(x) = (f(x) + f(-x)) / 2

(b) h(x) = (f(x) - f(-x)) / 2

Passo 1

Bem, para ser par, temos que a função:

f - x = f ( x )

E, para ser ímpar:

f - x = - f ( x )

Ou seja, estamos sempre olhando para f ( - x ) .

Passo 2

(a) Temos g x = f x + f ( - x ) 2 . Para saber se g é par ou ímpar, podemos substituir x por - x e ver se g ( - x ) atende a algum dos critérios do passo anterior:

g - x = f - x + f ( - ( - x ) ) 2

g - x = f - x + f ( x ) 2

Opa, comparando com g x = f x + f ( - x ) 2 , podemos ver que g - x = g ( x ) . Dessa forma, dizemos que essa função é par!

Passo 3

(b) Temos h x = f x - f ( - x ) 2 . Para saber se g é par ou ímpar, podemos substituir x por - x e ver se h ( - x ) atende a algum dos critérios do passo anterior:

h - x = f - x - f ( - ( - x ) ) 2

h - x = f - x - f ( x ) 2

Opa, comparando com h x = f x - f ( - x ) 2 , podemos ver que h - x = - h ( x ) . Dessa forma, dizemos que essa função é ímpar!

Resposta

(a) Par.

(b) ímpar

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