Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 69
Suponha um inteiro positivo e uma função vezes diferenciável tal que . Usando a indução matemática, mostre que é vezes diferenciável, para todo inteiro positivo , e que cada uma das suas derivadas mais altas, , é igual a uma das funções , , ,, .
Passo 1
Fala aí! como vai?
Nesse problema temos que mostrar, usando a indução matemática, que temos uma função que é diferenciavel vezes, sendo um numero inteiro e positivo, e que cada uma das suas derivadas mais altas, , é igual a uma das funções , , ,, de modo que e é um numero inteiro e positivo e é vezes diferenciavel.
Parece complicado, não é?
Vamos começar relembrando a ideia geral por trás da indução matemática. Como usamos a indução para provar que uma certa propriedade vale para todos os números inteiros positivos?
Primeiro temos que provar que ela funciona para algum número inteiro. No nosso caso, provar que a regra funciona para .
Depois, temos que provar que, se a propriedade funciona para certo , então ela funciona para .
Se fizermos isso, podemos ir “pulando” de um número para o outro em passos de , e então estará provado que a propriedade vale para todos os inteiros.
Veja só!
Passo 2
Então primeiro vamos mostrar que a propriedade vale para .
De fato, a primeira derivada existe:
E está no conjunto:
Show?
Passo 3
Agora nós vamos supor que a propriedade é válida para algum inteiro positivo .
Em outras palavras, supomos que é diferenciável vezes, e que está nesse conjunto:
Se existe e está nesse conjunto, então também existe e está no conjunto formado pelas derivadas das funções de :
Derivando o conjunto ...
Mas o enunciado diz que , então o último termo passará a ser , e vai “repor” o primeiro termo que tínhamos antes, ou seja:
Ou seja, também pertence ao conjunto .
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Beleza, nós mostramos que se a propriedade vale para , então ela vale para .
Mas nós também mostramos que ela vale para , o que quer dizer que ela vale para .
Mas se ela vale para , então ela vale para . E podemos repetir isso até provar que a propriedade vale para todos os inteiros positivos.
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
Demonstração.