Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 44
Suponha que e , onde é um número real. Demonstre cada afirmação.
- se
- se
Passo 1
Opa, bora lá! Aqui a gente tem que demonstrar alguns itens lembrando que:
Na maioria das vezes, quando o seu professor te pede para provar algo ele quer que você seja o mais formal, então iremos utilizar das definições de limites para provarmos essas propriedades.
Primeiro vamos relembrar a definição formal de limite:
Seja uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número , exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende a é , e escrevemos
Se para todo número houver um número tal que
Se
Então
Isso é, podemos estar próximos de por uma distância e isso aproxima nossa função de a uma distância .
Agora para o limite infinito:
Seja uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número , exceto possivelmente no próprio . Então
Significa que, para todo número positivo , há um número positivo tal que
Se
Então
Isso é, se o limite for infinito quando estivermos a uma distância de , existe um número positivo qualquer, que minha função será sempre maior que .
Passo 2
- se
Vamos supor um dado . Desde que exista , existe tal que
Como a nossa definição diz, nossa função sempre será maior que qualquer valor pensado, já que ela vai para .
Desde que , existe , tal que
Como a definição, só que aqui escolhemos arbitrariamente , pois podemos fazer isso.
Vamos supor que é menor que e , então:
Como delta é menor que e , podemos dizer que:
Como temos:
Então a gente sempre vai ter:
Passo 3
Vamos supor um dado . Desde que , existe tal que
E por conta do nosso limite
Podemos escolher :
Sendo assim, teremos então:
Já que o limite de é .
Desde que , existe , tal que
Isso é, como nossa função tem limite , ela sempre será maior que qualquer ou múltiplo de dado.
Se temos então:
E o produto pode ser reescrito como:
Visto isso,
Passo 3
(c) se
Vamos supor um dado . Desde que , existe tal que
E por conta do nosso limite
Podemos escolher :
Sendo assim:
Desde que , existe , tal que
Isso é, como nossa função tem limite , ela sempre será maior que qualquer ou múltiplo de dado.
Se temos então:
Isto pode ser interpretado como, independentemente do valor extremamente grande de , um produto por um valor negativo, será negativo.
Prontinho!
Resposta
Demonstração.