Determine o limite infinito

lim x → π - ⁡ csc ⁡ x

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema foi dado limite

lim x → π - ⁡ csc ⁡ x

E nosso objetivo é mostrar que esse limite tende ao infinito.

Parece complicado?

Basicamente o que temos que fazer é verificar o valor que a função

f x = csc ⁡ x

Quando x tende a π pela esquerda, ou seja, para valores infinitesimalmente menores que π ...

Para resolver esse exercício, vamos manipular a função no limite de modo que seja possivel evidenciar uma resposta.

Veja só!

Passo 2

Pelas propriedades trigonométricas, podemos reescrever o limite como

lim x → π - ⁡ csc ⁡ x = lim x → π - ⁡ 1 sin ⁡ x

Agora, faremos a seguinte análise.

Quando x → π - temos que x < π , então sabemos que sin ⁡ x > 0 , porem muito próximo de 0 .

Logo, podemos concluir que como temos uma constante sendo dividida por um numero muito próximo de 0 , o resultado dessa fração tende a valores muito grandes, próximos de .

lim x → 0 + ⁡ 1 x = ∞

Então, podemos dizer que

lim x → π - ⁡ csc ⁡ x = lim x → π - ⁡ 1 sin ⁡ x = ∞

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

lim x → π - ⁡ csc ⁡ x = ∞

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