Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 44
Suponha que e , onde é um número real. Demonstre cada afirmação.
a)
b) se
c) se
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha?
Eita, essa questão deu pra gente a seguinte informação:
Suponha que e , onde é um número real.
E pediu pra gente demonstrar as seguintes propriedades:
a)
b) se
c) se
e não vai ter muito pra onde correr. Vamos precisar analisar cada uma delas com bastante calma. Mas vem comigo que te ajudo no passo a passo.
Passo 2
a) No item a) temos a seguinte propriedade
E isso faz sentido, uma vez que
E
Porque estamos somando algo infinitamente grande com um valor qualquer, o que dará algo infinitamente grande.
Mas para provar isso de uma maneira mais formal, vamos supor um dado . Desde que exista , existe tal que
Desde que , existe , tal que
Vamos supor que é menor que e , então:
Visto isso, .
Agora
Passo 3
Agora na letra b) precisamos mostrar que
se
O que também faz sentido, uma vez que estamos multiplicando um valor infinitamente grande por uma constante positiva. Teremos como resultado algo infinitamente grande.
E de modo formal, vamos supor um dado . Desde que , existe tal que
Desde que , existe , tal que
Se temos então:
Visto isso,
Passo 4
Por fim, no item c), temos:
se
O que novamente faz sentido, uma vez que estamos multiplicando algo infinitamente grande por um valor negativo, isso fará uma inversão de sinais.
Então, vamos supor um dado . Desde que , existe tal que
Desde que , existe , tal que
Se temos então:
Visto isso,
Resposta
Demonstração