Suponha que f(x) = infinito e g(x) = c , onde c é um número real. Demonstre cada afirmação.

a) [f(x) + g(x)] = ∞

b) [f(x) g(x)] = ∞ se c > 0

c) [f(x) g(x)] = -∞ se c < 0

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha?

Eita, essa questão deu pra gente a seguinte informação:

Suponha que f x   = ∞ e g x   = c , onde c é um número real.

E pediu pra gente demonstrar as seguintes propriedades:

a) [ f x + g x ]   = ∞

b) [ f x g x ]   = ∞   se c > 0

c) [ f x g x ]   = - ∞ se c < 0

e não vai ter muito pra onde correr. Vamos precisar analisar cada uma delas com bastante calma. Mas vem comigo que te ajudo no passo a passo.

Passo 2

a) No item a) temos a seguinte propriedade

[ f x + g x ]   = ∞

E isso faz sentido, uma vez que

f x   = ∞

E

g x   = c

Porque estamos somando algo infinitamente grande com um valor c qualquer, o que dará algo infinitamente grande.

Mas para provar isso de uma maneira mais formal, vamos supor um dado M . Desde que exista f x   = ∞ , existe δ 1 > 0 tal que

0 < x - a < δ 1

→ f x > M + 1 - c

Desde que g x   = c , existe δ 2 > 0 , tal que

0 < x - a < δ 2 → g x - c < 1 → g x > c - 1

Vamos supor que δ é menor que δ 1 e δ 2 , então:

0 < x - a < δ

f x + g x > M + 1 - c + c - 1 = M

Visto isso, [ f x + g x ]   = ∞ .

Agora

Passo 3

Agora na letra b) precisamos mostrar que

[ f x g x ]   = ∞   se c > 0

O que também faz sentido, uma vez que estamos multiplicando um valor infinitamente grande por uma constante positiva. Teremos como resultado algo infinitamente grande.

E de modo formal, vamos supor um dado M > 0 . Desde que g x   = c > 0 , existe δ 1 > 0 tal que

0 < x - a < δ 1 → g x - c < c 2 → g x > c 2

Desde que f x   = ∞ , existe δ 2 > 0 , tal que

0 < x - a < δ 2 → f x > 2 M c

Se temos δ = δ 1 , δ 2   , então:

0 < x - a < δ

f x g x > 2 M c c 2 = M

Visto isso,   f x g x   = ∞

Passo 4

Por fim, no item c), temos:

[ f x g x ]   = ∞   se c > 0

O que novamente faz sentido, uma vez que estamos multiplicando algo infinitamente grande por um valor negativo, isso fará uma inversão de sinais.

Então, vamos supor um dado N > 0 . Desde que g x   = c < 0 , existe δ 1 > 0 tal que

0 < x - a < δ 1 → g x - c < - c 2 → g x < c 2

Desde que f x   = ∞ , existe δ 2 > 0 , tal que

0 < x - a < δ 2 → f x > 2 N c

Se temos δ = δ 1 , δ 2   , então:

0 < x - a < δ

f x g x < 2 N c c 2 = N

Visto isso,   f x g x   = - ∞

Resposta

Demonstração

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