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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.4 - Ex. 60

Suponha que a_n > 0 e underset(n -> oo)(lim) n ² (a_n) = 0 . Prove que sum a_n converge.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

O enunciado nos diz que

a_n > 0

underset(n -> oo)(lim) n ² (a_n) = 0

Vamos fazer uma pequena adaptação:

(a_n) n^2 = ((a_n))/((1)/(n^2))

Podemos dizer então que:

b_n = (1)/(n^2)

Então, se formos analisarmos a série

sum b_n = sum (1)/(n^2)

Vamos ter aqui uma p-série, aonde p = 2 . Logo, ela converge.

Se substituirmos o limite, teremos:

underset(n -> oo)(lim) n ² (a_n) = underset(n -> oo)(lim) ((a_n))/((1)/(n^2)) = underset(n -> oo)(lim) ((a_n))/(b_n) = 0

Pela Comparação no Limite, como já achamos que b_n converge, logo a_n também converge

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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