Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.7 - Ex. 1
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
Fala aí, galera!
Esta questão pede para gente verificar se a série dada é convergente ou divergente. Para isso, a gente precisa descobrir qual dos testes aprendidos é melhor para resolver o problema.
Veja que o termo geral da série em função da variável , o , já foi dado para gente. A saber,
Como e , segue que e a série dada não é alternada.
A gente também sabe que, se a gente mantém o numerador constante (igual a 1, neste problema) e diminui o denominador, a fração se torna maior. Dessa forma, a gente conclui que:
E que o melhor método para se utilizar nesta questão é o Teste da Comparação.
O Teste da Comparação diz o seguinte:
Dadas duas séries e de termos positivos:
- Se for convergente e , para todo , então é convergente.
- Se for divergente e , para todo , então é divergente.
Passo 2
Boa, pessoal! Já descobrimos qual é o melhor método para se resolver a questão. Além disso, nós já conseguimos fazer uma comparação entre os termos e . Basta verificarmos se converge ou não.
Se converge, então , que foi dada, também converge. E este é o caso!
Passo 3
De fato, a série é uma série geométrica (soma de termos de uma progressão geométrica P.G.) com razão maior que zero e menor que 1 e nós sabemos que ela converge. Portanto, a série
converge pelo Teste da Comparação.
Resposta
A série é convergente pelo Teste da Comparação.