Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 44
44) Suponha que não tenhamos uma fórmula para , mas sabemos que e para todo .
(a) Use uma aproximação linear para estimar e .
(b) Suas estimativas na parte (a) são muito grandes ou pequenas? Explique.
Passo 1
E aí, galerinha! 😊
Nesse problema temos que usar uma aproximação linear para estimar e sabendo que que não temos uma fórmula para , mas sabemos que e para todo . Além disso queremo analisar se essas estimativas são muito grandes ou pequenas.
Tem ideia de como fazemos isso?
A linearização de uma função é dada por
A partir daí podemos começar a desenvolver nosso problema.
Veja só! 😉
Passo 2
Item a:
Para obter a linearização uma função , devemos utilizar a aproximação da função em :
Temos que e pelo gráfico, podemos ver que . Para , temos então:
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Para :
Para:
Bacana, não é? 😬
Passo 4
Item b:
Neste caso temos que a derivada da função nessa proximidade é positiva e crescente, isso implica que a função é crescente e possui a concavidade é votada para cima.
Ou seja, a função tem um crescimento mais rápido a as retas tangentes estão abaixo da função , logo, as estimativas são muito pequenas em relação a .
E aí! o que achou? Responde Aí! 😉
Resposta
(a) e .
(b) As estimativas são muito pequenas em relação a .