Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 9
Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar que a aproximação linear de , em , é aproximadamente . Além disso, ele pediu pra gente determinar um intervalo de valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de .
Pra isso, a gente precisa lembrar que a reta tangente é a reta que melhor aproxima uma função em um ponto. E que por isso a fórmula da aproximação linear é bem parecida com a equação da geral reta, olha só:
Então, o que nós vamos fazer é calcular uma aproximação linear para , com , usando essa fórmula, e verificar se o resultado é mesmo. Depois, para que a gente tenha uma aproximação linear com precisão de , vamos colocar o resultado da aproximação dentro desse intervalo:
E a partir daí encontrar o intervalo de que atende essas condições.
Vamos lá!
Passo 2
Para obter a linearização uma função , devemos utilizar a aproximação da função em :
Para isso vamos derivar :
Substituindo na equação da linearização :
E para , temos:
Logo, a aproximação dada está correta, como queríamos demonstrar.
Passo 3
Para uma precisão de , o valor estimado, está numa faixa de do valor real, ou seja:
Substituindo , temos:
E essa desigualdade é verdadeira quando:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉