Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . A seguir, determine os valores de x para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .

1 / (1 + 2x)^(1/4) ≈ 1 - 8x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que a aproximação linear de f x = 1 1 + 2 x 4 , em a = 0 , é aproximadamente 1 - 8 x . Além disso, ele pediu pra gente determinar um intervalo de valores de x para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .

Pra isso, a gente precisa lembrar que a reta tangente é a reta que melhor aproxima uma função em um ponto. E que por isso a fórmula da aproximação linear é bem parecida com a equação da geral reta, olha só:

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Então, o que nós vamos fazer é calcular uma aproximação linear para f ( x ) , com a = 0 , usando essa fórmula, e verificar se o resultado é mesmo. Depois, para que a gente tenha uma aproximação linear com precisão de 0,1 , vamos colocar o resultado da aproximação dentro desse intervalo:

f x - 0,1 < L x < f x + 0,1

E a partir daí encontrar o intervalo de x que atende essas condições.

Vamos lá!

Passo 2

Para obter a linearização L ( x ) uma função f x , devemos utilizar a aproximação da função em a :

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Para isso vamos derivar f ( x ) :

f ' x = - 4 1 + 2 x - 5 2

f ' x = - 8 1 + 2 x 5

Substituindo na equação da linearização L ( x ) :

L x = 1 1 + 2 a 4 - 8 1 + 2 a 5 ( x - a )

E para a = 0 , temos:

L x = 1 1 + 2 0 4 - 8 1 + 2 0 5 x - 0

L x = 1 - 8 x

Logo, a aproximação dada está correta, como queríamos demonstrar.

Passo 3

Para uma precisão de 0,1 , o valor estimado, está numa faixa de ± 0,1 do valor real, ou seja:

f x - 0,1 < L x < f x + 0,1

Substituindo f x = 1 1 + 2 x 4 , temos:

1 1 + 2 x 4 - 0,1 < 1 - 8 x < 1 1 + 2 x 4 + 0,1

E essa desigualdade é verdadeira quando:

- 0,045 < x < 0,055

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L x = 1 - 8 x

- 0,045 < x < 0,055

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