Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 31
Explique, em termos de aproximação linear ou diferencial, por que a aproximação é razoável.
Passo 1
Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??
Para explicar a razoabilidade dessa aproximação, podemos aplicar o conceito de aproximação linear ou diferencial.
A ideia é encontrar uma função linear que se aproxime da funç��o original (neste caso, a função de recíproco) em torno de um ponto conhecido. No entanto, a função de recíproco não é linear, mas podemos linearizá-la em torno de um ponto próximo.
O ponto de aproximação é escolhido de tal forma que a função original e a função linearizada sejam bem próximas nesse ponto. Aqui, podemos escolher pois o que torna a diferença mínima e facilita os cálculos.
Aproximamos a função de recíproco por uma função linear em torno do ponto escolhido.
Passo 2
Para isso, usamos a derivada da função de recíproco no ponto de interesse.
A derivada de , é, portanto, em
Utilizamos a equação da reta tangente (ou a aproximação linear) em torno de
Substituímos
Passo 3
Substituímos equação acima:
Então, usando a aproximação linear, , é aproximadamente , o que explica a razoabilidade da aproximação .