Explique, em termos de aproximação linear ou diferencial, por que a aproximação é razoável.

1 / 9,98 ≈ 0,1002

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??

Para explicar a razoabilidade dessa aproximação, podemos aplicar o conceito de aproximação linear ou diferencial.

A ideia é encontrar uma função linear que se aproxime da funç��o original (neste caso, a função de recíproco) em torno de um ponto conhecido. No entanto, a função de recíproco f x = 1 x não é linear, mas podemos linearizá-la em torno de um ponto próximo.

O ponto de aproximação é escolhido de tal forma que a função original e a função linearizada sejam bem próximas nesse ponto. Aqui, podemos escolher x = 10 pois 1 10 = 0.1 , o que torna a diferença mínima e facilita os cálculos.

Aproximamos a função de recíproco por uma função linear em torno do ponto escolhido.

Passo 2

Para isso, usamos a derivada da função de recíproco no ponto de interesse.

A derivada de 1 x   é - 1 x 2 , é, portanto, em x = 10 ,   é - 1 100

Utilizamos a equação da reta tangente (ou a aproximação linear) em torno de x = 10 :

      f x ≈ f a +   f ' a ⋅ x   -   a

Substituímos

(   a   =   10   ) ,   (   f a = 1 10 ) ,   e   (   f ' a =   - 1 100

      f x ≈ 0.1   - 1 100 ⋅ x   -   10

Passo 3

Substituímos x = 9.98   n a   equação acima:

        f 9.98 ≈ 0.1   -   1 100 ⋅ 9.98   -   10

      f 9.98 ≈ 0.1   -   1 100 ⋅ - 0.02

      [   f 9.98 ≈ 0.1   + 0.02 100

      f 9.98 ≈ 0.1   +   0.0002

  f 9.98 ≈ 0.1002  

Então, usando a aproximação linear, 1 9.98 , é aproximadamente   0.1002   , o que explica a razoabilidade da aproximação 1 9.98 ≈ 0.1002 .

Resposta

f 9 . 98 = 0 . 1002

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