Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 26
Use a aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente usar uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o valor de .
Pra isso, a gente precisa lembrar que a reta tangente é a reta que melhor aproxima uma função em um ponto. E a função linear cujo gráfico é essa reta tangente é dada por:
Onde é um ponto que arbitramos, próximo ao nosso ponto de interesse (), e é denominada linearização de em .
Como a questão não nos deu a função nem o ponto, nosso primeiro passo é definir essa função e sua derivada. Depois, definimos um ponto próximo ao valor dado e calculamos a sua linearização, substituindo os dados na equação. Por fim, basta a gente substituir o ponto que desejamos saber o valor para obtermos nossa aproximação.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar definindo a nossa função. Como temos uma raiz quadrada, podemos escrever:
Derivando essa função, vamos ter:
Agora vamos definir , porque é um ponto próximo de e conhecemos a sua raiz. Dessa forma, temos:
Substituindo na equação da linearização, ficamos com:
Expandindo esse produto e simplificando:
Passo 3
Beleza, mas a gente quer saber quanto vale a . E o que a gente descobriu é que pode ser aproximada pela linearização . Então, agora basta a gente substituir na função. Olha só:
Usando uma calculadora a gente encontra . Então, encontramos uma boa aproximação.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉