Enunciado

Use a aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado.

100,5

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente usar uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o valor de 100,5 .

Pra isso, a gente precisa lembrar que a reta tangente é a reta que melhor aproxima uma função em um ponto. E a função linear cujo gráfico é essa reta tangente é dada por:

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Onde a é um ponto que arbitramos, próximo ao nosso ponto de interesse ( x = 100,5 ), e L ( x ) é denominada linearização de f em a .

Como a questão não nos deu a função nem o ponto, nosso primeiro passo é definir essa função e sua derivada. Depois, definimos um ponto próximo ao valor dado e calculamos a sua linearização, substituindo os dados na equação. Por fim, basta a gente substituir o ponto que desejamos saber o valor para obtermos nossa aproximação.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo a nossa função. Como temos uma raiz quadrada, podemos escrever:

y = f x = x

Derivando essa função, vamos ter:

d y d x = 1 2 x

Agora vamos definir a = 100 , porque é um ponto próximo de x = 100,5 e conhecemos a sua raiz. Dessa forma, temos:

f 100 = 100 = 10

f ' 100 = 1 2 100 = 1 20

Substituindo na equação da linearização, ficamos com:

L x = f 100 + f ' ( 100 ) ( x - 100 )

L x = 10 + 1 20 ( x - 100 )

Expandindo esse produto e simplificando:

L x = 0,05 x + 5

Passo 3

Beleza, mas a gente quer saber quanto vale a 100,5 . E o que a gente descobriu é que x pode ser aproximada pela linearização L x = 0,05 x + 5 . Então, agora basta a gente substituir x = 100,5 na função. Olha só:

L 100,5 = 0,05 ∙ 100,5 + 5

L = 10,025

Usando uma calculadora a gente encontra 100,5 ≈ 10,02496882 … . Então, encontramos uma boa aproximação.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

10,025

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