Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 62
Suponha que e sejam deriváveis em e que . Demonstre que há pelo menos um ponto entre a e b onde as tangentes às curvas de e são paralelas ou são a mesma reta. Ilustre sua resposta com um gráfico.
Passo 1
Devemos mostrar que as retas tangentes a curva em pelo menos um ponto (pode ser um ou mais) são paralelas ou são a mesma. Primeiramente, devemos lembrar que geometricamente a derivada pode ser interpretada como sendo a inclinação da reta tangente. Assim, podemos tomar uma função onde é continua e diferenciável dentro do intervalo .
Passo 2
Calculando o valor da nossa função para o ponto a temos
Como teremos o seguinte
Raciocínio similar pode ser aplicado para a função aplicada em b.
Passo 3
Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que
Aplicando esse teorema para a nossa função teremos
Devemos lembrar que a derivada da soma/subtração é a soma/subtração das derivadas. Dessa forma,
Podemos substituir a equação e obtemos
O que implica que em algum ponto dentro desse intervalo temos as inclinações das retas tangentes de ambas as funções é igual o que implica retas tangentes paralelas ou iguais.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)