Suponha que o raio de convergência da série de potências ∑ c n x n seja R . Qual é o raio da série de potências ∑ c n x 2 n ?

Enunciado

Beleza, galera?

A questão nos dá uma série cujo raio de convergência é .

Agora quer que a gente descubra qual o raio de convergência de uma série parecida, mas elevado ao quadrado: .

Perceba o seguinte, em uma série como a nossa, , vai haver convergência quando:

Ou,

Agora, olha pra outra série:

E se a gente fizesse uma mudança de variável para facilitar nossa vida? Que tal fazer ?

Show! A nova série em , deve ser considerada igual à mesma série em :

Pois é como se só mudássemos a letra. Então, de acordo com o que a gente já viu, a série em converge quando

Agora, voltando à variável , lembrando que :

Ou seja,

Assim, o raio de convergência da série é !