Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 42
Suponha que o raio de convergência da série de potências seja . Qual é o raio da série de potências ?
Passo 1
Beleza, galera?
A questão nos dá uma série cujo raio de convergência é .
Agora quer que a gente descubra qual o raio de convergência de uma série parecida, mas elevado ao quadrado: .
Perceba o seguinte, em uma série como a nossa, , vai haver convergência quando:
Ou,
Agora, olha pra outra série:
E se a gente fizesse uma mudança de variável para facilitar nossa vida? Que tal fazer ?
Passo 2
Show! A nova série em , deve ser considerada igual à mesma série em :
Pois é como se só mudássemos a letra. Então, de acordo com o que a gente já viu, a série em converge quando
Agora, voltando à variável , lembrando que :
Ou seja,
Assim, o raio de convergência da série é !