Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 32a
Sejam e números reais com . Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
(a)
Passo 1
Galera, pra tentar encontrar uma série de potências que satisfaça esse intervalo de convergência, primeiro precisamos estar atentos aos extremos: veja que ambos não fazem parte do intervalo de convergência.
Um tipo de série que tem um tipo de intervalo parecido é a série geométrica , cujo intervalo de convergência é . Vamos analisar com mais detalhes esse intervalo pra encontrar nossa série de potências com intervalo ?
Passo 2
Vamo! Em , o centro do intervalo é , e isso ocorre porque, na série, o termo elevado a é .
Mas, no nosso caso, o centro do intervalo vai ser , então vamos começar a construir nossa série assim:
Passo 3
Além disso, o raio de convergência da série geométrica é , que se obtém subtraindo os extremos do intervalo e dividindo por :
E esse raio de convergência é este porque, na série, aparece
Mas, pra nossa série o raio de convergência será:
Então, podemos acabar de construir nossa série:
Se quiser, pode conferir usando o Teste da Razão, o intervalo de convergência vai ser exatamente !