Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 44
Suponha que uma região do plano seja decomposta em duas regiões, e , cujas áreas sejam e , respectivamente, e cujos centroides sejam e e respectivamente. Investigue o problema de expressar o centroide de em termos de , , e . Escreva um relatório curto sobre suas investigações e apoie suas conclusões com argumento plausíveis. Podemos estender esses resultados a decomposições de em mais do que duas regiões?
Passo 1
Cara, a gente vai ter que refletir um pouquinho. O que ele está perguntando é se dá para obter o centroide de uma região composta por outras duas, sabendo o centroide e a área dessas duas regiões.
O centroide é o ponto de equilíbrio (centro de gravidade) de uma lâmina de densidade constante . Por isso, podemos achar o momento de uma lâmina dessas em torno do eixo , multiplicando a massa pela coordenada do centroide, assim:
Sendo,
Para região , ficamos com:
E para região , ficamos com:
O momento dessas duas regiões juntas em torno de fica sendo a soma desses dois momentos:
Mas a gente tem uma fórmulinha alternativa para a coordenada do centro de gravidade que é:
Substituindo o que a gente achou para a união das regiões:
Daí a gente tira que: a coordenada do centroide da união das duas regiões é uma média ponderada das coordenadas dos centroides de cada região, com base nas áreas.
Passo 2
Fazendo o mesmo procedimento, mas olhando para o momento em torno do eixo :
Somando os dois momentos e jogando na fórmula do centro de gravidade da união das regiões (que podemos chamar de centroide, porque é constante):
Daí a gente vê que a coordenada também vai ser uma média ponderada.
Quanto maior uma das regiões, mais próximo do centroide dela estará o centroide da união.
Passo 3
Podemos tentar estender essa ideia para uma região dividida em regiões. Para cada região, temos que:
Usando a fórmula do centro de massa:
Vemos que para qualquer número de regiões a coordenada do centroide é igual a uma média ponderada de todas as coordenadas . Para a coordenada é a mesma coisa:
O que responde a pergunta que ele fez: a gente pode sim estender essa ideia para quantas regiões quisermos. 😊
Resposta
Podemos sim estender os resultados. Discussão nos passos