Use o Teorema de Pappus para calcular o volume do sólido gerado quando a região envolvida por e é girada em torno do eixo .

Temos uma região que vai ser girada em torno do eixo . Para calcular o volume do sólido que vai surgir, pelo Teorema, precisamos entender como calcular a distância percorrida pelo centroide nessa rotação.

Agora pensa comigo: a trajetória do centroide é uma circunferência. E o raio dela é igual à distância do centroide até o eixo de rotação, no nosso caso o eixo .

Pelo gráfico da figura, vemos que ela simétrica em relação ao eixo e a reta . Por isso, o centroide é:

Então, a distância do centroide até o eixo de rotação, o eixo , é . Esse vai ser o raio da trajetória que o centroide vai fazer durante a rotação.

A distância percorrida pelo centroide é o comprimento da trajetória, que é uma circunferência. Logo, é só a gente calcular o comprimento da circunferência de raio :

Precisamos da área da região. Vamos precisar usar uma integral. A região está limitada superiormente pela função e inferiormente pela equação .

Para descobrir os extremos de integração precisamos achar as interseções entre essas duas curvas:

Então, podemos calcular a área pela integral:

Com tudo calculado, podemos usar:

Substituindo tudo que a gente tem na fórmula do teorema:

Arrasamos!