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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 44

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

44. y = sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x   ,   0,0

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema temos que obter a reta tangente à curva

y = sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x

No ponto 0,0 .

Parece complicado?

Primeiramente temos que lembrar que a equação de uma reta é dada por

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 são as coordenadas do ponto de tangencia e m é a inclinação da reta.

Podemos resolver esse problema a partir de uma propriedade de derivadas...

Essa propriedade diz que a derivada de uma função em um ponto resulta na inclinação da reta tangente a função no ponto calculado.

Portanto podemos rescrever a equação da reta como

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde y ' x 0 é a derivada de y aplicada no ponto de interesse.

Sacou? Bora lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de y , ou seja

y ' = d sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x d x = d sen ⁡ x d x + d sen 2 ⁡ x d x

Pelo teorema fundamental do calculo, sabemos que a derivada de sin ⁡ x é

d sen ⁡ x d x = cos ⁡ x

Já a derivada de sin 2 ⁡ x pode ser calculada pela regra da cadeia ou regra do produto (a que achar melhor...)

Aqui vamos usar a regra da cadeia...

A gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x g ' x

d sen 2 ⁡ x d x = d sin ⁡ x d x · d s i n 2 ⁡ x d sin ⁡ x

A derivada de sin ⁡ x já sabemos qual é, mas a derivada de sin 2 ⁡ x em relação a sin ⁡ x é dada por

d sin 2 ⁡ x d sin ⁡ x = 2 sin ⁡ x

Logo...

d sen 2 ⁡ x d x = cos ⁡ x · 2 sin ⁡ x

Substituindo em y ' , temos

y ' = d sen ⁡ x d x + d sen 2 ⁡ x d x

y ' = cos ⁡ x + cos ⁡ x 2 sin ⁡ x

y ' = cos ⁡ x 1 + 2 sin ⁡ x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

O próximo passo é substituir o ponto 0,0 em y ' e depois substituir na equação da reta tangente.

y ' 0 = cos ⁡ 0 1 + 2 sin ⁡ 0

y ' 0 = 1 1 + 2 0

y ' 0 = 1

Substituindo na equação da reta e sabendo que o ponto x 0 , y 0 = 0,0 , temos

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

y - 0 = 1 x - 0

y = x

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

y = x

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Se a reta tangente a y = f x em 4,3 passar pelo ponto0,2 , encontre f 4 e f ' ( 4 ) .
a) Encontre a inclinação da tangente à curva y = 1 / x no ponto onde x = a b) Encontre as equações das retas tangentes nos pontos 1,1e4, 1 2 c) Faça o gráfico das curvas e de ambas as retas tangentes
Se f x = 3 x 2 - 5 x , encontre f ' ( 2 ) e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à parábola y = 3 x 2 - 5 x no ponto ( 2,2 )
Se g x = 1 - x 3 , encontre g ' ( 0 ) e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva y = 1 - x 3 no ponto ( 0,1 )
Seja l a reta tangente à parábola y = x 2 no ponto (1,1). O ângulo de inclinação de l é o ângulo ϕ que l faz com a direção positiva do eixo x. Calcule ϕ com a precisão de um grau.