26. O número N de franquias de uma certa cadeia popular de cafeteiras é mostrada na tabela. (Esse número é obtido no dia 30 de junho de cada ano.)

a) Encontre a taxa média do crescimento.

(i) de 1996 a 1998 (i i) de 1997 a 1998 (iii) de 1998 a 1999 .

Em cada caso, inclua as unidades.

b) Estime a taxa instantânea de crescimento em 1998 tomando a média de duas taxas médias de variação. Quais são as suas unidades?

c) Estime a taxa instantânea de crescimento em 1998 medindo a inclinação da tangente.

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema foi dada uma tabela de um número N de lojas de uma franquia em função dos anos.

A partir dessa tabela, queremos obter a taxa de crescimento entre 1996 e 1998 , 1997 e 1998 e entre 1998 e 1999 .

Com esses resultados, temos tambem que estimar a taxa de variação instantânea em 1998 pela média das duas taxas mais próximas e pela reta tangente.

Tem ideia de como fazemos isso?

Primeiramente, para determinar a taxa de variação nos intervalos pedidos, vamos usar a formulinha

m = ∆ N ∆ x

Em que ∆ N é a variação do número de franquias e ∆ x é a variação do tempo em anos.

Para responder o item b), vamos calcular a média da taxa de variação entre 1997 - 1998 e 1998 - 1999 .

Por último, para o item c), vamos esboçar os pontos no plano cartesiano e estimar o gráfico N x . Depois esboçamos a reta tangente em 1998 e usamos a equação m para obter a inclinação...

Bora começar!

Passo 2

Vamos começar calculando as taxas de variações i , i i e i i i .

Fazendo a ( i ) taxa, que é de 1996 a 1998

m i = ∆ N ∆ x = N 1998 - N 1996 1998 - 1996

Pela tabela, vemos que N 1998 = 1886 e N 199 6 = 1015 , ou seja

m i = 1886 - 1015 2

m i = 1588 2

m i = 794   f r a n q u i a s / a n o

Fazendo a ( i i ) taxa, que é de 1997 a 1998

m i i = ∆ N ∆ x = N 1998 - N 1997 1996 - 1995

Substituindo os valores da tabela...

= 1886 - 1412 1

m i i = 474   f r a n q u i a s / a n o

Por último, fazendo a ( i i i ) taxa, que é de 1998 a 1999

m i i i = ∆ N ∆ x = N 1999 - N 1998 1999 - 1998

Pela tabela, vemos que N 1999 = 2135 e N 199 8 = 1886

m i i i = 2135 - 1886 1

m i i i = 249   f r a n q u i a s / a n o

Tranquilo até aqui?

Passo 3

No item b) queremos calcular a taxa de variação instantânea em 1998 a partir das médias das variações mais próximas.

Então, como as taxas mais próximas acontecem entre 1997 - 1998 e 1998 - 1999 , temos

T 1998 = m i i + m i i i 2

Se m i i = 474   f r a n q u i a s / a n o e m i i i = 249   f r a n q u i a s / a n o , então

T 1998 = 474   + 249   2 = 723 2

T 1998 = 361,5   f r a n q u i a s / a n o

Bacana, não é?

Passo 4

Esboçando esses pontos no plano cartesiano e ligando-os, vamos obter o gráfico de N x como

Vamos desenhar a reta tangente em 1998

Perceba que a reta tangente passa por 1997 ; 1500 e 1999 ; 2250 , aproximadamente.

Usando a equação m descrita no passo 1, podemos calcular a inclinação dessa reta e a taxa de variação instantânea em 1998 .

m 1998 = ∆ N ∆ x = 2 2 50 - 1500   1999 - 1997

m 1998 = 375   f r a n q u i a s   / a n o

Veja que o resultado que obtemos nesse passo não é o mesmo do resultado do passo anterior, porém é muito próximo.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

a ) ( i ) taxa 794   f r a n q u i a s / a n o

( i i ) taxa 474   f r a n q u i a s / a n o

( i i i ) taxa 249   f r a n q u i a s / a n o

( b ) Taxa instantânea pela média é igual a: 361,5   f r a n q u i a s / a n o

( c ) Taxa instantânea pela tangente é igual a: 3 75   f r a n q u i a s / a n o

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