Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.3 - Ex. 36
(a) Suponha que seja um campo vetorial inverso do quadrado, ou seja,
para alguma constante , onde . Determine o trabalho realizado por ao mover um objeto de um ponto por um caminho para um ponto em termos da distância e desses pontos à origem.
(b) Um exemplo de um campo inverso do quadrado é o campo gravitacional discutido no Exemplo 4 da Seção 16.1. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do afélio (em uma distância máxima de do Sol) ao periélio (em uma distância mínima de ). (Use os valores e .)
(c) Outro exemplo de campo inverso do quadrado é o campo elétrico discutido no Exemplo 5 da Seção 16.1. Suponha que um elétron com carga de esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é colocada à distância de do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo elétrico. (Use o valor .)
Passo 1
E aí, gente legal!
Essa questão é enorme, mas vamos ver o que fazer em cada item, belê?
(a) Nesse item, precisamos calcular o trabalho realizado por essa força aqui:
Para mover um objeto do ponto até o ponto , entre distâncias e , onde é constante e é dado por .
Temos que e que
Podemos dizer que é conservativo, pois , onde
Apesar de não ser algo imediato, poderíamos tirar a ideia de que é conservativo. Se for conservativo, possui as derivadas simétricas entre si, ficando mais fácil o pensamento, daí basta integrar uma das componentes:
Substituindo
Como as derivadas são simétricas, uma da opções é quando , então provamos que é conservativo.
Passo 2
Como provamos que é conservativo podemos calcular o trabalho como sendo
Como temos que
Se usarmos um ponto qualquer , podemos dizer que
Onde é a distancia de da origem, então
Passo 3
Agora no item (b), precisamos saber o trabalho realizado pelo campo gravitacional
(usando informações do item anterior), quando a Terra se move do afélio ao periélio, com distâncias máxima e mínima do sol, respectivamente de
Onde
Pegando a fórmula
Se isolarmos temos
E podemos calcular o trabalho como sendo (o que encontramos em (a)):
Substituindo os valores, convertendo para trabalharmos com os mesmos valores, temos
Passo 4
Com a mesma lógica do item anterior, vamos agora ver nosso item (c), onde precisamos calcular o trabalho do campo elétrico definido por
Tendo como carga de um elétron localizado na origem como
E uma carga positiva a uma distância desse eletron de
E que se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron.
Além dos dados do item (a), vamos usar
Com isso, temos que o trabalho é definido, como fizemos no item (b),
Substituindo os valores...
Show de bola! 😉