23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

52. a_n = n - raiz(n + 1) * raiz(n + 3)

Passo 1

Oi, tudo bem?

Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge. Antes de aplicarmos o limite de fato na sequência, vamos simplificar isso aí!

a n = n - n + 1 . n + 3

Podemos multiplicar os fatores dentro da raiz

a n = n - n 2 + 4 n + 3

A ideia aqui é fazer uma racionalização ao contrário! Sempre que tivermos soma/subtração que envolva raiz vamos fazer isso! Bora comigo?

Passo 2

Multiplicando pelo conjugado para tirar essa raíz do denominador, teremos o seguinte:

a n = n - n 2 + 4 n + 3 . n + n 2 + 4 n + 3 n + n 2 + 4 n + 3

Do conceito de diferença de dois quadrados, temos que:

a 2 - b 2 = a - b . ( a + b )

É exatamente a situação que temos! Aplicando esse conceito, teremos:

a n = n 2 - ( n 2 + 4 n + 3 ) n + n 2 + 4 n + 3

∴ a n = - 4 n - 3 n + n 2 + 4 n + 3

Passo 3

Ok, o primeiro passo foi finalizado! Simplificamos o máximo possível a sequência. Agora aplicando o limite, teremos:

lim n → ∞ ⁡ - 4 n - 3 n + n 2 + 4 n + 3

Se você substituir por infinito, teremos ∞ / ∞ que é uma indeterminação! A saída aqui é colocar em evidência o termo de maior expoente tanto no numerador quanto no denominador. Assim vamos conseguir simplificar!

Ah e mais! Todo termo a / n m quando n → ∞ vai a zero, então vamos simplificar bastante!

Dividindo todos os termos por n , teremos:

lim n → ∞ ⁡ - 4 n n - 3 n n n + n 2 + 4 n + 3 n = lim n → ∞ ⁡ - 4 - 3 n 1 + 1 + 4 n + 3 n 2

Por fim, aplicado o limite de fato, teremos:

lim n → ∞ ⁡ - 4 - 3 n 1 + 1 + 4 n + 3 n 2 = - 4 - 0 1 + 1 + 0 + 0 = - 2

Sendo assim, a conclusão é de que a sequência converge.

Resposta

a n = n - n + 1 . n + 3   é   c o n v e r g e n t e

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