Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 52
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
52.
Passo 1
Oi, tudo bem?
Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:
Se existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge. Antes de aplicarmos o limite de fato na sequência, vamos simplificar isso aí!
Podemos multiplicar os fatores dentro da raiz
A ideia aqui é fazer uma racionalização ao contrário! Sempre que tivermos soma/subtração que envolva raiz vamos fazer isso! Bora comigo?
Passo 2
Multiplicando pelo conjugado para tirar essa raíz do denominador, teremos o seguinte:
Do conceito de diferença de dois quadrados, temos que:
É exatamente a situação que temos! Aplicando esse conceito, teremos:
Passo 3
Ok, o primeiro passo foi finalizado! Simplificamos o máximo possível a sequência. Agora aplicando o limite, teremos:
Se você substituir por infinito, teremos que é uma indeterminação! A saída aqui é colocar em evidência o termo de maior expoente tanto no numerador quanto no denominador. Assim vamos conseguir simplificar!
Ah e mais! Todo termo quando vai a zero, então vamos simplificar bastante!
Dividindo todos os termos por , teremos:
Por fim, aplicado o limite de fato, teremos:
Sendo assim, a conclusão é de que a sequência converge.