Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 46
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
46.
Passo 1
E aí, galera? Tudo certo? Questãozinha de convergência de sequências pra gente:
Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:
Se existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge.
Para resolver essa sequência devemos utilizar o raciocínio do teorema do confronto. O que nos indica isso é o fato da função cosseno ser limitada entre dois valores. Sabemos que a função cosseno varia de a , não é mesmo?
Mas para simplificar nossa abordagem, nós vamos calcular o módulo dessa sequência, porque vai ser mais fácil entendermos seu comportamento desconsiderando a oscilação para valores negativos.
Além do Teorema do Confronto, aplicaremos o Teorema 6 e o Teoremo 9 do nosso livro.
Vamos entender esse processo passo a passo juntos.
Passo 2
Esse passo aqui vai ser dedicado para a gente relembrar do Teorema do Confronto (ou do Sanduíche):
O princípio é que se uma função está entre outras duas funções com o mesmo limite, então a função intermediária terá necessariamente o mesmo limite. Por essa razão, ele é conhecido como Teorema do Sanduíche.
Basicamente:
se e , então
Em módulo, teremos:
Como nossa sequência é , multiplicamos por :
Então teremos:
Passo 3
Aqui nós iremos de fato calcular esses limites.
O limite da constante é a própria constante:
Para calcularmos , primeiro vamos simplificar nossa expressão:
Como , ficamos com:
E como , temos:
De acordo com o teorema 9, assim como discutido pelo Stewart, temos que:
No nosso caso, , então , não é mesmo?
Passo 4
Agora que temos os valores dos limites das sequências que limitam nossa sequência em questão, temos que:
Portanto:
Passo 5
Descobrimos o limite da sequência com módulo, mas lembre que nossa sequência inicial era . Nós adicionamos o módulo para facilitar cálculos.
Mas pelo Teorema 6 do nosso livro, temos que:
Se , então
Sendo assim,
A conclusão é de que a sequência converge.