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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.3 - Ex. 8d

Verifique que.

(d)/(d x) [- (1)/(2) arcsen ((2 - x)/(x sqrt(2)))] = (1)/(x sqrt(x^2 + 4 x - 4))

Passo 1

Vamos calcular (d)/(d x) [- (1)/(2) arcsen ((2 - x)/(x sqrt(2)))] , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função constante, da divisão e do polinômio:

(ar c sen f (x))^' = (1)/(sqrt(1 - f^2 (x))) * (f (x))^'

(c)^' = 0

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 2

Vamos aplicar:

y^' = (- (1)/(2) arcsen ((2 - x)/(x sqrt(2))))^' = - (1)/(2) * (1)/(sqrt(1 - ((2 - x)/(x sqrt(2)))^2)) * ((2 - x)/(x sqrt(2)))^'

Vamos resolver a derivada ((2 - x)/(x sqrt(2)))^' :

((2 - x)/(x sqrt(2)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((2 - x)^' (x sqrt(2)) - (2 - x) (x sqrt(2))^')/([x sqrt(2)]^2) = ((0 - x^(1 - 1)) (x sqrt(2)) - (2 - x) (x^(1 - 1) sqrt(2)))/(2 x^2) = ((- x^0) (x sqrt(2)) - (2 - x) (x^0 sqrt(2)))/(2 x^2) = ((- 1) (x sqrt(2)) - (2 - x) (1 sqrt(2)))/(2 x^2) = (- x sqrt(2) - 2 sqrt(2) + x sqrt(2))/(2 x^2) = (- sqrt(2))/(x^2)

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = - (1)/(2) * (1)/(sqrt(1 - ((2 - x)/(x sqrt(2)))^2)) * ((2 - x)/(x sqrt(2)))^' = - (1)/(2) * (1)/(sqrt(1 - ((2 - x)/(x sqrt(2)))^2)) * ((- sqrt(2))/(x^2)) = (sqrt(2))/(2 x^2) * (1)/(sqrt(1 - ((4 - 4 x + x^2)/(2 x^2)))) = (sqrt(2))/(2 x^2) * (1)/(sqrt((2 x^2 - 4 + 4 x - x^2)/(2 x^2))) = (sqrt(2))/(2 x^2) * (1)/(sqrt((x^2 - 4 + 4 x)/(2 x^2))) = (sqrt(2))/(2 x^2) * (1)/((sqrt(x^2 - 4 + 4 x))/(sqrt(2 x^2))) = (sqrt(2))/(2 x^2) * (sqrt(2 x^2))/(sqrt(x^2 - 4 + 4 x)) = (x sqrt(2) sqrt(2))/(2 x^2 sqrt(x^2 - 4 + 4 x)) = (2 x)/(2 x^2 sqrt(x^2 - 4 + 4 x)) = (1)/(x sqrt(x^2 - 4 + 4 x))

Assim:

(d)/(d x) [- (1)/(2) arcsen ((2 - x)/(x sqrt(2)))] = (1)/(x sqrt(x^2 + 4 x - 4))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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