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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.3 - Ex. 8c

Verifique que.

(d)/(d x) [(x + 1) arctg sqrt(x) - sqrt(x)] = arctg sqrt(x)

Passo 1

Vamos calcular (d)/(d x) [(x + 1) arctg sqrt(x) - sqrt(x)] , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função constante, do produto e do polinômio:

(arctg (f (x)))^' = (1)/(1 + f^2 (x)) * (f (x))^'

(c)^' = 0

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 2

Vamos aplicar:

y^' = ((x + 1) arctg sqrt(x) - sqrt(x))^' = ((x + 1) arctg sqrt(x))^' + (- sqrt(x))^'

Vamos resolver a primeira derivada:

((x + 1) arctg sqrt(x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (x + 1)^' (arctg sqrt(x)) + (arctg sqrt(x))^' (x + 1) = (x^(1 - 1) + 0) (arctg sqrt(x)) + (1)/(1 + (sqrt(x))^2) (sqrt(x))^' (x + 1) = x^0 (arctg sqrt(x)) + (x + 1)/(1 + x) ((1)/(2) x^((1)/(2) - 1)) = 1 (arctg sqrt(x)) + 1 * (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = arctg sqrt(x) + (1)/(2 sqrt(x))

Agora a segunda:

(- sqrt(x))^' = - (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) = - (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = - (1)/(2 sqrt(x))

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = ((x + 1) arctg sqrt(x))^' + (- sqrt(x))^' = arctg sqrt(x) + (1)/(2 sqrt(x)) + (- (1)/(2 sqrt(x))) = arctg sqrt(x)

Assim:

(d)/(d x) [(x + 1) arctg sqrt(x) - sqrt(x)] = arctg sqrt(x)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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