Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 28

Suponha que seja a equação do movimento de uma partícula sobre uma reta, onde satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio. Mostre que a conclusão do teorema do valor médio assegura que irá existir um certo instante em qualquer intervalo de tempo, no qual a velocidade instantânea será igual à velocidade média para aquele mesmo intervalo de tempo.

Passo 1

Primeiro de tudo vamos lembrar o que o teorema do valor médio diz. Seja uma função, tal que seja contínua no intervalo fechado e seja derivável no intervalo aberto . Então, existirá um número no intervalo aberto , tal que:

No nosso problema, temos a função que define o movimento e sabemos que a taxa de variação do movimento em relação ao tempo é a velocidade instantânea, certo?

Passo 2

Como satisfaz as hipóteses do TVM, podemos escrever o seguinte:

Suponha que satisfaça as hipóteses do TVM em um intervalo qualquer , portanto existe um tal que e

é a velocidade instantânea no instante e é a velocidade média. Dessa forma, existe algum instante durante o intervalo de tempo em que a velocidade instantânea é igual à velocidade média durante esse intervalo de tempo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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