Dada f(x) = 1 / 2 (a^x + a^(-x)) . Prove que

f(b + c) + f(b - c) = 2 * f(b) * f(c)

Passo 1

Para provar a igualdade, vamos começar simplesmente substituindo os valores para obter f (b + c) + f ( b - c ) :

f (b + c) + f (b - c) = (1)/(2) (a^(b + c) + a^(- b - c)) + (1)/(2) ( a^(b - c) + a^(- b + c) )

Passo 2

Agora podemos juntar tudo colocando em evidência só o ½:

f (b + c) + f (b - c) = (1)/(2) ( a^(b + c) + a^(- b - c) + a^(b - c) + a^(- b + c) )

Mas pela propriedade de exponenciais, que diz que x^(y z) = x^y x^z , podemos separar cada potência de a em duas:

f (b + c) + f (b - c) = (1)/(2) ( a^b a^c + a^(- b) a^(- c) + a^b a^(- c) + a^(- b) a^c )

Passo 3

Note que agora temos o termo a^b duas vezes e o termo a^(- b) também duas vezes. Podemos agrupá-los:

(1)/(2) (a^b a^c + a^(- b) a^(- c) + a^b a^(- c) + a^(- b) a^c) = (1)/(2) ( a^b (a^c + a^(- c)) + a^(- b) (a^c + a^(- c)) )

Agora colocando ( a^c + a^(- c) ) em evidência:

(1)/(2) (a^b (a^c + a^(- c)) + a^(- b) (a^c + a^(- c))) = (1)/(2) ( a^b + a^(- b) ) ( a^c + a^(- c) )

Passo 4

Sabemos que f (b) = (1)/(2) ( a^b + a^(- b) ) e f (c) = (1)/(2) ( a^c + a^(- c) ) e então 2 f (b) = a^b + a^(- b) e 2 f (c) = a^c + a^(- c) . Substituindo, temos então finalmente:

f (b + c) + f (b - c) = (1)/(2) (a^b + a^(- b)) (a^c + a^(- c)) = (1)/(2) * 2 f (b) * 2 f (c) = 2 f (b) f ( c )

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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