Suponha que f e g sejam funções que satisfaçam as hipóteses do teorema do valor médio em [a, b] . Além disso, suponha que f'(x) = g'(x) para todo x no intervalo aberto (a, b) . Prova que f(x) - g(x) = f(a) - g(a) para todo x no intervalo fechado [a, b] .

Passo 1

Como f , por hipótese, satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio, temos que existe c ∈ ( a ,   b ) tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Passo 2

Como g , por hipótese, satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio, temos que existe d ∈ ( a ,   b ) tal que:

g ' d = g b - g ( a ) b - a

Passo 3

Sabemos que f ' x = g ' x , para todo x ∈ ( a ,   b ) , em particular para c , d ∈ ( a ,   b ) temos:

f ' c = g ' d ⇒

f b - f a b - a = g b - g a b - a ⇒

f b - f a = g b - g ( a )

Tomando b = x :

f x - f a = g x - g a ⇒

f x - f a - g x = - g a ⇒

f x - g x = f a - g ( a )

Como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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