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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.Revisão - Ex. 72

Prove que as duas retas:

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0                       A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

são paralelas se e somente se

A 1 B 2 - A 2 B 1 = 0

Passo 1

Muito toop essa daqui, animados para ver como desembolamos ela?

Então siimbora !!

Neste problema queremos provar que A 1 B 2 = A 2 B 1 quando as Retas 1 e 2 são paralelas.

Para começar, vamos desenhar a situação descrita pelo problema.

Sabemos que se duas retas são paralelas, elas são equidistantes em toda a sua extensão. E isso só será possível se possuírem a mesma inclinação, certo?

Isso porque se a inclinação delas forem diferentes, eventualmente elas irão se tocar, vale você fazer o teste aí !!

Então:

α 1 = α 2

Consequentemente:

t g   α 1 = t g   α 2

Se lembram como calculamos uma tangente?

Se não lembram, sem problemas !! Eu mostro pra vocês:

t g   α = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e = ∆ y ∆ x = y 1 - y 2 x 1 - x 2

Guardem esta informação no coração de vocês !!

Passo 2

Como vocês viram no Passo 1 precisamos de dois pontos para achar a tangente, ( x 1 ,     y 1 ) e ( x 2 ,     y 2 ) , para as duas retas!!

Para simplificar vamos usar y 1 = x 2 = 0 , ok?

Reta 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0                

Se y 1 = 0 : A 1 x + C 1 = 0 →   x 1 = - C 1 A 1

Se x 2 = 0 : B 1 y + C 1 = 0 →   y 2 = - C 1 B 1

Substituindo na equação da tangente:

t g   α 1 = y 1 - y 2 x 1 - x 2 = 0 + C 1 B 1 - C 1 A 1 - 0

t g   α 1 = C 1 B 1 . - A 1 C 1 = - A 1 B 1

Reta 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Se y 1 = 0 : A 2 x + C 2 = 0 →   x 1 = - C 2 A 2      

Se x 2 = 0 : B 2 y + C 2 = 0 →   y 2 = - C 2 2

Substituindo na equação da tangente:

t g   α 2 = y 1 - y 2 x 1 - x 2 = 0 + C 2 B 2 - C 2 A 2 - 0

t g   α 2 = C 2 B 2 . - A 2 C 2 = - A 2 B 2

Passo 3

Sabendo os valores das tangentes e sabendo que elas devem ser iguais:

- A 1 B 1 = - A 2 B 2

A 1 B 2 = A 2 B 1

A 1 B 2 - A 2 B 1 = 0

Falei que ia ser legal !!

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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