Enunciado

Suponha que o sistema descrito pela equação m s ' ' + γ s ' + k s = 0 tem amortecimento crítico e que as condições iniciais são s 0 = s 0 , s ' 0 = v 0 . Se v 0 = 0 , mostre que s → 0 quando t → ∞ , mas que s nunca se anula. Se s 0 for positivo, determine uma condição sobre v 0 que garanta que a massa vai passar pela sua posição de equilíbrio após ser solta.

Passo 1

Queremos primeiramente escrever nossa equação diferencial que dever ser a seguinte cara

m s ' ' + γ s ' + k s = 0

O que fazendo s = e r t como solução, nos permite analisar as condições dadas . Lembrando que quando estivermos analisando a equação característica, temos que Δ > 0 (supercrítico), Δ < 0 (subcrítico) e Δ = 0 (crítico) são os tipos de amortecimento.

Passo 2

Suponda a solução s = e r t como informado no passo 1, assim temos que nossa equação característica é dada por

m r 2 + γ r + k = 0

Com solução

r = - γ ± γ 2 - 4 k m 2 m

Passo 3

Se temos um amortecimento crítico, então

γ 2 - 4 k m = 0

Assim temos como solução geral

s = A e - γ t 2 m

Observe que

s 1 = B t e - γ t 2 m

Também é uma possível solução. Se não acredita em mim, vamos testá-la?

s 1 ' = B e - γ t 2 m - γ 2 m B t e - γ t 2 m

E

s 1 ' ' = - γ m B e - γ t 2 m + γ 2 m 2 B t e - γ t 2 m

Assim temos

m s 1 ' ' + γ s 1 ' + k s 1 = - γ B e - γ t 2 m + γ 2 4 m B t e - γ t 2 m + γ B e - γ t 2 m - γ 2 2 m B t e - γ t 2 m + k B t e - γ t 2 m

O primeiro e o terceiro termos se anulam, e sobram

+ γ 2 m B t e - γ t 2 m 1 4 - 1 2 + k B t e - γ t 2 m = - γ 2 4 m B t e - γ t 2 m + k B t e - γ t 2 m

E lembre-se, nosso problema é um amortecimento crítico, então γ 2 = 4 k m o que nos dá que

m s 1 ' ' + γ s 1 ' + k s 1 = 0

E s 1 também é solução.

Assim temos que a solução geral é dada por

s = A + B t e - γ t 2 m

Com

s ' = - γ 2 m A + B t e - γ t 2 m + B e - γ t 2 m

Agora vamos para as condições iniciais. Assim

s 0 = A = s 0

s ' 0 = - γ 2 m A + B = v 0 → B = - 2 m v 0 γ - s 0

Nos dando finalmente

s t = s 0 - 2 m v 0 γ + s 0 t e - γ t 2 m

Passo 4

Supondo que v 0 = 0 , então

s t = s 0 1 - t e - γ t 2 m

Desta forma, quando

lim t → ∞ ⁡ s 0 1 - t e - γ t 2 m = lim t → ∞ ⁡ s 0 e - γ t 2 m + lim t → ∞ ⁡ s 0 t e - γ t 2 m

O primeiro limite tende a zero, fácil de ver. O segundo limite tiramos pelo regra do L ' h o p i t a l .

lim t → ∞ ⁡ s 0 t e - γ t 2 m = lim t → ∞ ⁡ - γ 2 m s 0 e - γ t 2 m

Que também tende a zero. Mas perceba, que eles tendem a zero, mas nunca chegam a zero.

Passo 5

Queremos agora a condição para que sobre v 0 para que s t = 0 para t > 0 , ou seja

s t = s 0 - 2 m v 0 γ + s 0 t e - γ t 2 m = 0

Como e - γ t 2 m nunca será zero

Então

s 0 - 2 m v 0 γ + s 0 t = 0

Assim temos

t = s 0 2 m v 0 γ + s 0

E temos como condição que

s 0 + 2 m v 0 γ > 0

Desta forma

v 0 < - s 0 γ 2 m

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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