Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 20
Suponha que o sistema descrito pela equação tem amortecimento crítico e que as condições iniciais são , . Se , mostre que quando , mas que nunca se anula. Se for positivo, determine uma condição sobre que garanta que a massa vai passar pela sua posição de equilíbrio após ser solta.
Passo 1
Queremos primeiramente escrever nossa equação diferencial que dever ser a seguinte cara
O que fazendo como solução, nos permite analisar as condições dadas Lembrando que quando estivermos analisando a equação característica, temos que (supercrítico), (subcrítico) e (crítico) são os tipos de amortecimento.
Passo 2
Suponda a solução como informado no passo 1, assim temos que nossa equação característica é dada por
Com solução
Passo 3
Se temos um amortecimento crítico, então
Assim temos como solução geral
Observe que
Também é uma possível solução. Se não acredita em mim, vamos testá-la?
E
Assim temos
O primeiro e o terceiro termos se anulam, e sobram
E lembre-se, nosso problema é um amortecimento crítico, então o que nos dá que
E também é solução.
Assim temos que a solução geral é dada por
Com
Agora vamos para as condições iniciais. Assim
Nos dando finalmente
Passo 4
Supondo que , então
Desta forma, quando
O primeiro limite tende a zero, fácil de ver. O segundo limite tiramos pelo regra do .
Que também tende a zero. Mas perceba, que eles tendem a zero, mas nunca chegam a zero.
Passo 5
Queremos agora a condição para que sobre para que para , ou seja
Como nunca será zero
Então
Assim temos
E temos como condição que
Desta forma
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)