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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 16

Mostre que A cos ⁡ ω 0 t + B   s e n   ω 0 t pode ser escrito na forma r   s e n   ω 0 t - θ . Determine r e θ em função de A e B . Se R cos ⁡ ( ω 0 t - δ ) = r   s e n ( ω 0 t - θ ) , determine a relação entre R ,   r ,   δ e θ .

Passo 1

Esse é um problema bem matemático. Vamos lembrar somente duas relações trigonométricas que parecem que serão bastantes uteis para gente neste problema.

cos ⁡ a ± b = cos ⁡ a cos ⁡ b ∓ s e n   a   s e n   b

E

s e n a ± b = s e n   a cos ⁡ b ± s e n   b cos ⁡ a

Passo 2

Queremos reescrever nossa equação A cos ⁡ ω 0 t + B   s e n   ω 0 t em r   s e n   ω 0 t - θ

Então vamos abrir nossa segunda equação e tentar compará-las.

Seja

r   s e n   ω 0 t - θ = r [ s e n   ω 0 t cos ⁡ θ - s e n θ cos ⁡ ω 0 t ]

Assim podemos dizer que

A = - r   s e n   θ B = r cos ⁡ θ

Se elevarmos ambas ao quadrado e somarmos, temos

- r   s e n   θ 2 + r cos ⁡ θ 2 = r 2 = A 2 + B 2

Assim temos que r = A 2 + B 2

E outra possibilidade é dividir A / B assim

tan ⁡ θ = - A B

Implicando que

θ = π - arctan ⁡ A / B

Passo 3

Agora queremos comparar R cos ⁡ ( ω 0 t - δ ) = r   s e n ( ω 0 t - θ )

Onde

R cos ⁡ ω 0 t - δ = R cos ⁡ ω 0 t cos ⁡ δ + s e n   ω 0 t   s e n   δ

Assim comparando temos

R cos ⁡ δ = - r   s e n   θ R   s e n   δ = r cos ⁡ θ

E agora adotamos o mesmo procedimento do passo 2

R cos ⁡ δ 2 + R   s e n   δ 2 = - r   s e n   θ 2 + r cos ⁡ θ 2

Que nos da que

R = | r |

E que

cot ⁡ δ = - tan ⁡ θ

Que se resume em

θ = π - arctan ⁡ cot ⁡ δ

Parece ser feio, mas são só números hahah ou letras

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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