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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 32

Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a .

32. f x = x + 1 ,   a = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Sabemos que a série de Maclaurin da função f ( x ) é uma série de Taylor da função f ( x ) em a = 0 , que é definida como

f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + … + f n 0 n ! x n + …

Neste caso é dado que

f x = x + 1

Calculando as derivadas, nós obtemos que

f ' x = 1 2 x + 1 → f ' 0 = 1 2

f ' ' x = - 1 4 x + 1 3 / 2 → f ' ' 0 = - 1 4

f ' ' ' x = 3 8 x + 1 5 / 2 → f ' ' ' 0 = 3 8

f 4 x = - 15 16 x + 1 7 2 → f 4 0 = - 15 16

Passo 2

Nós temos uma espécie de padrão, com isso, obtemos que

f n x = d n d x n x + 1 = - 1 n - 1 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ 2 n - 3 2 n x + 1 2 n - 1 2 → f n 0 = - 1 n - 1 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ 2 n - 3 2 n  

Portanto, obtemos a série de Maclaurin necessária de f ( x ) é dada por

x + 1 = 1 + 1 2 x - 1 8 x 2 + 1 16 x 3 - 5 128 x 4 + … + - 1 n - 1 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ 2 n - 3 n ! ∙ 2 n x n

Resposta

x + 1 = 1 + 1 2 x - 1 8 x 2 + 1 16 x 3 - 5 128 x 4 + … + - 1 n - 1 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ 2 n - 3 n ! ∙ 2 n x n

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