Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 46

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.

Se u = f ( x , y ) , onde x = e s cos ⁡ t e y = e s sen ⁡ t , mostre que

∂ u ∂ x 2 + ∂ u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + ∂ u ∂ t 2

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de provar teorema com regra da cadeia, vamos lá!

A questão nos diz que há uma função do tipo u = f ( x ,   y ) onde x = x ( s ,   t ) e y = y ( s ,   t ) e pede para que provemos o seguinte:

∂ u ∂ x 2 + ∂ u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + ∂ u ∂ t 2

Certo, mas como fazemos isso sem nem ter a função u ?

Vamos relembrar a regra da cadeia para funções múltiplas variáveis:

Para uma função no formato u ( x , y ) onde x = x ( s ,   t ) e y = y ( s ,   t ) , a derivada d u / d s pode ser definida como:

d u d s =   ∂ u ∂ x ⋅ d x d s + ∂ u ∂ y ⋅ d y d s

E a derivada d u / d t pode ser definida como:

d u d t =   ∂ u ∂ x ⋅ d x d t + ∂ u ∂ y ⋅ d y d t

Nós não podemos calcular d u / d x ou d u / d y mas veja que esses termos aparecem nessas fórmulas! Então vamos substituir d u / d s e d u / d t na expressão da questão e ver o que podemos fazer!

Passo 2

Vamos começar definindo as derivadas de x e y nas variáveis s e t !

Seja

x = e s cos ⁡ t

y = e s sen ⁡ t

Então vamos ter

∂ x ∂ s = e s cos ⁡ t

∂ y ∂ s = e s sen ⁡ t

∂ x ∂ t = - e s sen ⁡ t

∂ y ∂ t = e s cos ⁡ t

De forma que podemos atualizar as expressões de d u / d s e d u / d t !

∂ u ∂ s = ∂ u ∂ x e s cos ⁡ t + ∂ u ∂ y e s sen ⁡ t

∂ u ∂ t = - ∂ u ∂ x e s sen ⁡ t + ∂ u ∂ y e s cos ⁡ t

Passo 3

Agora que definimos estes termos, podemos começar a manipular os termos da expressão do enunciado!

Vamos começar definindo o seguinte

∂ u ∂ s 2

Nesse caso temos

∂ u ∂ s 2 = ∂ u ∂ x 2 e 2 s cos 2 ⁡ t + 2 ∂ u ∂ x e s cos ⁡ t ∂ u ∂ y e s sen ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 e 2 s sen 2 ⁡ t

Ou ainda, após reorganizar

∂ u ∂ s 2 = ∂ u ∂ x 2 e 2 s cos 2 ⁡ t + ��� u ∂ y 2 e 2 s sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y e 2 s sen ⁡ 2 t

Mas lá na equação geral tínhamos uma exponencial acompanhando esse termo, lembra?

e - 2 s ∂ u ∂ s 2

Então vamos multiplicar por e - 2 s (ou dividir por e 2 s , é a mesma coisa)

e - 2 s ∂ u ∂ s 2 = ∂ u ∂ x 2 cos 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y sen ⁡ 2 t

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa para o outro termo elevado ao quadrado!

Tínhamos

∂ u ∂ t 2

Nesse caso temos

∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 e 2 s sen 2 ⁡ t - 2 ∂ u ∂ x e s sen ⁡ t ∂ u �� y e s cos ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 e 2 s cos 2 ⁡ t

Ou ainda, após reorganizar

∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 e 2 s sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 e 2 s cos 2 ⁡ t - ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y e 2 s sen ⁡ 2 t

Mas lá na equação geral tínhamos uma exponencial acompanhando esse termo também, lembra?

e - 2 s ∂ u ∂ t 2

Então vamos multiplicar aqui também por e - 2 s (ou dividir por e 2 s , é a mesma coisa)

e - 2 s ∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 cos 2 ⁡ t - ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y sen ⁡ 2 t

Passo 5

Agora que já expandimos esses termos podemos somá-los igual na proposto pelo enunciado!

e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + ∂ u ∂ t 2

Antes de substituirmos, já podemos ver que os termos com ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y sen ⁡ 2 t das duas equações se cancelam! Isso poupa nosso trabalho!

e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + ∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 cos 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ x 2 sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 cos 2 ⁡ t

Agora, agrupando os termos com d u / d x ou d u / d y , nós temos

e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + ∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

E se usarmos a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1 vamos ficar exatamente com o proposto no enunciado!

e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + ∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 + ∂ u ∂ y 2

Resposta

A expressão e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + ∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 + ∂ u ∂ y 2

É válida!

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t w = l nx ² + y ² + z ² ² ² ²