Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou dwan / dt .

z = t * g^(-1)(x / y)

x = e^t

y = 1 - e^(-t)

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntos hoje meu nobre e querido amigo.

Dada a função z = a r c t g ( x y ) , com x = e t e y = 1 - e - t , devemos determinar d z d t .

Para isso, devemos usar a regra da cadeia com relação às duas variáveis x e y .

Isto é, d z d t será obtido a partir da soma das derivadas parciais.

É importante relembrar que a derivada de a r c t g x é igual a 1 1 + x ² e que iremos precisar aplicar a regra da cadeia aqui na hora de derivar o nosso arco tangente.

Veja que para descobrirmos z t teremos que utilizar a seguinte formula:

d z d t =   ∂ z ∂ x d x d t   + ∂ z ∂ y d y d t

Passo 2

Uma vez compreendida a maneira como a função z é composta, basta aplicarmos a regra da cadeia. Portanto a gente vai encontrar as derivadas de cada parte para unirmos na formula. Vamos começar com z x :

z = t g - 1 x y

Como falamos, aqui a gente precisa aplicar a regra da cadeia:

z x = x y ' ⋅ 1 1 + x y 2

z x = 1 y ⋅ 1 1 + x y 2

Agora vamos encontrar x t :

x = e t

Aqui é mais simples para a gente:

x t = e t

Partimos para encontrarmos z x , de forma semelhante como quando encontramos z x :

z = t g - 1 x y

Aplicando a regra da cadeia:

z y = x y ' ⋅ 1 1 + x y 2

Temos então:

z y = - 1 x ⋅ y - 2 ⋅ 1 1 + x y 2

Por último a gente vai encontrar y t :

y = 1 - e - t

Vamos derivar então:

y t = 0 + e - t

Veja que a gente precisou aplicar a regra da cadeia aqui.

Agora a gente substiui tudo o que calculamos:

d z d t = 1 1 + x 2 y 2 ⋅ 1 y ⋅ e t + 1 1 + x 2 y 2 ⋅ - x y 2 ⋅ e - t 1

Resposta

d z d t = 1 1 + x 2 y 2 ⋅ 1 y ⋅ e t + 1 1 + x 2 y 2 ⋅ - x y 2 ⋅ e - t 1

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