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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 14.5 - Ex. 4

Use a Regra da Cadeia para determinar d z d t ou d w d t .

z = t g - 1 x y

x = e t

y = 1 - e - t

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntos hoje meu nobre e querido amigo.

Dada a função z = a r c t g ( x y ) , com x = e t e y = 1 - e - t , devemos determinar d z d t .

Para isso, devemos usar a regra da cadeia com relação às duas variáveis x e y .

Isto é, d z d t será obtido a partir da soma das derivadas parciais.

É importante relembrar que a derivada de a r c t g x é igual a 1 1 + x ² e que iremos precisar aplicar a regra da cadeia aqui na hora de derivar o nosso arco tangente.

Veja que para descobrirmos z t teremos que utilizar a seguinte formula:

d z d t =   ∂ z ∂ x d x d t   + ∂ z ∂ y d y d t

Passo 2

Uma vez compreendida a maneira como a função z é composta, basta aplicarmos a regra da cadeia. Portanto a gente vai encontrar as derivadas de cada parte para unirmos na formula. Vamos começar com z x :

z = t g - 1 x y

Como falamos, aqui a gente precisa aplicar a regra da cadeia:

z x = x y ' ⋅ 1 1 + x y 2

z x = 1 y ⋅ 1 1 + x y 2

Agora vamos encontrar x t :

x = e t

Aqui é mais simples para a gente:

x t = e t

Partimos para encontrarmos z x , de forma semelhante como quando encontramos z x :

z = t g - 1 x y

Aplicando a regra da cadeia:

z y = x y ' ⋅ 1 1 + x y 2

Temos então:

z y = - 1 x ⋅ y - 2 ⋅ 1 1 + x y 2

Por último a gente vai encontrar y t :

y = 1 - e - t

Vamos derivar então:

y t = 0 + e - t

Veja que a gente precisou aplicar a regra da cadeia aqui.

Agora a gente substiui tudo o que calculamos:

d z d t = 1 1 + x 2 y 2 ⋅ 1 y ⋅ e t + 1 1 + x 2 y 2 ⋅ - x y 2 ⋅ e - t 1

Resposta

d z d t = 1 1 + x 2 y 2 ⋅ 1 y ⋅ e t + 1 1 + x 2 y 2 ⋅ - x y 2 ⋅ e - t 1

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Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t z = x ln ⁡ x + 2 y , x = s e nt ,y = cos ⁡ t
Use a regra da cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t .6- w = x y + y z 2 ,x = e t , y = e ts e nt ,z = e t cos ⁡ t
17-20. Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.19. T = F ( p ,q ,r ) , no qual p = p ( x ,y ,z ) , q = q ( x ,
17-20. Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.20. R ( t ,u ) , no qualt = t ( w ,x ,y ,z ) , u = u ( w ,x ,y