Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 15
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
E aí, galerinha! Como estão as coisas aí?
A questão quer saber o raio de convergência e o intervalo onde estão os valores de para quais a série abaixo converge:
A gente pode fazer isso utilizando o Teste da Razão. Uma dica pra você saber quando aplicar o Teste da Razão é que ele é bem útil em séries onde temos termos com potências (como aqui do nosso caso).
Vamos relembrar esse Teste? Basicamente temos que calcular o limite abaixo:
Esse limite vai dar um certo resultado, um número que vamos chamar de . Daí podemos ter 3 casos:
a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
a série é divergente (o mesmo para )
o teste é inconclusivo.
Depois de achar o intervalo de convergência a gente vai precisar entender se esse nosso intervalo é aberto ou fechado nas extremidades, ou seja, se a sequência converge quando assume o valor das extremidades. E pra isso a gente precisa de alguns métodos. Aqui na nossa resolução, lá nos últimos passos, vamos precisar desses conceitos que vou retomar agora:
- Para a série-p, temos:
É convergente se e é divergente se .
- Teste da Série Alternada:
Se a série acima satisfaz as condições: (i) para todo (traduzindo: é decrescente) e (ii) , a série converge.
Então bora lá.
Passo 2
Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Aqui vamos fazer alguns passos: dividir as duas frações, multiplicando a primeira fração pelo inverso (recíproco) da segunda fração. Também já abrimos os termos com soma no expoente usando:
Partiu então calcular o seguinte limite:
Passo 3
Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência .
Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que , ou seja, ....Portanto, convergirá para o intervalo em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( e )? É o que vamos calcular agora.
Passo 4
Quando , ficamos com a série , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.
Já para , ficamos com a série , uma variação de uma p-série com , e, portanto, uma série convergente.
Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por .