Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 81

Demonstre que

E

Se esses limites existirem

Passo 1

Olá, meu amigo. Pronto para essa resolução?

Aqui a gente tem uma questão de prova, deveremos provar os limites:

Isso é, devemos provar que o limite de uma função quando é igual ao limite de uma função quando . E também deveremos realizar a prova para quando e e nossa função for a .

Costumeiramente quando devemos provar algo utilizando limites, deveremos recorrer a definição de limite, seu professor provavelmente irá exigir isso quando lhe pedir para provar, mas vamos analisar o pensamento sobre essa questão antes de partimos para a parte matemática.

Veja que, se chamarmos de:

Para termos , aprendemos que basta chegarmos ao encontro de pela direita, com valores muito próximos de mas não iguais, deveremos ter então . Com isso em mente, vamos provar.

Passo 2

Seja

Então para todo , existe um , tal que

Para qualquer

Isso é, podemos pensar em qualquer valor positivo, sempre poderemos pensar em um maior que para qual nossa função caminhe para o seu limite a uma distância . Iremos utilizar dessa definição de limite ao infinito.

Se , já que queremos provar

Então podemos dizer que o número qualquer, onde sempre se e apenas se

Veja que:

Podemos escrever:

Agora podemos também fazer:

Que é equivalente a dizer, pois :

Então, para todo , existe um

Tal que

Para todo

Então, sempre poderemos ter um que torne a relação:

Verdadeira.

Passo 3

O pensamento para provarmos

É semelhante.

Seja

Então para todo , existe um , tal que

Para qualquer

Isso é, podemos pensar em qualquer valor negativo, sempre poderemos pensar em um menor que para qual nossa função caminhe para o seu limite a uma distância . Iremos utilizar dessa definição de limite ao infinito negativo. Onde sempre poderemos caminhar para valores cada vez mais negativos, e nossa função irá caminhar cada vez mais a .