Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 73
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
Passo 1
Beleza, galera?
Vamos em primeiro lugar entender o que a questão quer:
Primeiro, precisamos saber se a função é crescente ou decrescente.
Uma função monótona é crescente ou decrescente sempre. E vemos isso se compararmos os termos e o seu sucessor . A sequência pode ser crescente se e pode ser decrescente se .
Já uma sequência não monótona, não é crescente nem decrescente, pois seus termos oscilam e não apresentam um padrão de aumento ou diminuição.
A segunda pergunta que a questão nos trás é se a sequência é limitada, ou seja, se ela é limitada tanto superiormente quanto inferiormente, ou seja, valores de máximo e mínimos que a sequência não ultrapassa.
Vamos analisar passo a passo, então!
Passo 2
Veja que está sendo somado ao denominador da fração de . Quanto maior o denominador, menor é a fração, certo?
Então, à medida que aumenta, o denominador vai ficando maior, e vai decrescendo, né?
Ou seja:
Já que em nosso denominador aumenta e quanto mais aumenta mais diminui os termos.
Então a sequência é decrescente.
Passo 3
Será que a sequência é limitada? Bom, o que limita a sequência superiormente é o termo , pois a sequência é decrescente, então é impossível ter algum número maior do que .
Pra sabermos se ela também é limitada inferiormente, temos que calcular o limite:
Conforme , o denominador se torna muito grande e o limite tende a 0.
Então é limitada inferiormente por .
Se ela é limitada inferiormente e superiormente, podemos dizer que é limitada, o que é o nosso caso, beleza?
Resposta
Decrescente, limitada.