Enunciado

Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?

a n = - 2 n + 1

Passo 1

Beleza, galera?

Vamos começar relembrando o que são esses conceitos do enunciado.

  • Quando um termo da sequência é sempre maior do que o anterior, ela é crescente
  • Quando um termo da sequência é sempre menor do que o anterior, ela é decrescente
  • Se uma sequência é sempre crescente ou decrescente, ela é monótona
  • E se ela for as vezes crescente e as vezes decrescente, ela é não monótona

Então pra avaliar a nossa sequencia vamos calcular os primeiros termos. Nós fazemos isso substituindo n por valores inteiros 1, 2, 3, 4...

Pra saber se é limitada, precisamos avaliar os termos também, pra tentar identificar se tem algum valor limite, superior ou inferior, ao qual todos os termos estão restritos.

Passo 2

Vamos olhar os primeiros termos dessa sequência:

a n = - 2 n + 1

Substituindo n por 1, 2 e 3:

a 1 = - 2 1 + 1 = 4

a 2 = - 2 2 + 1 = - 8

a 3 = - 2 3 + 1 = 16

Só de olhar os três primeiros termos já vemos que ela não pode ser crescente nem decrescente. Do primeiro pro segundo termo ela decresce e do segunto pro terceiro ela cresce.

Portanto, ela é não monótona!

Passo 3

Será que a sequência é limitada? Vamos calcular mais alguns termos:

a 4 = - 2 4 + 1 = - 32

a 5 = - 2 5 + 1 = 64

Se você reparar os termos ficam sempre maiores em módulo. Os positivos ficam cada vez maiores e os negativos cada vez menores.

Isso faz sentido pois estamos aumentando o expoente do mesmo número. E como ele é negativo, temos alternância de sinal.

Então é isso, os termos vão aumentar e diminuir cada vez mais. E assim concluímos que ela não é limitada inferiormente nem superiormente.

Resposta

Não monótona, não limitada

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = n - 1 n
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = 1 2 n + 3
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = 2 n - 3 3 n + 4
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = n + 1 n
Seja a n = 1 + 1 n n .(a) Mostre que, se 0 ≤ ab , então b n + 1 - a n + 1 b - an + 1 b n (b) Deduza que b n n + 1 a - n ba n + 1 .(c) Use a = 1 + 1 n + 1 e b = 1 + 1 n na parte (b) para mostrar que a