Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 74
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
Passo 1
Tudo certo, pessoal? Mais uma questão para colocarmos a mão na massa! Bora!
Aqui a gente precisa começar entendendo se nossa sequência é:
- Crescente: se cada termo subsequente da sequência é maior que o anterior.
- Descrescente: se cada termo subsequente da sequência é menor que o anterior.
- Não monótona: se a sequência não é nem crescente nem decrescente, ou seja, seus termos oscilam.
Para isso precisamos calcular e e compará-los.
Depois vamos tentar entender se ela é limitada: se os seus termos não ultrapassarem certos limites superiores e inferiores.
Passo 2
Vamos começar pela primeira análise:
Vamos calcular que é com .
Fazendo as multiplicações:
E por fim:
Passo 3
Vamos então tentar comparar e :
A gente supõe que e vemos se é verdade:
Passamos os numeradores para os lados opostos multiplicando:
Fazendo nossas multiplicações:
Simplificando:
Resolvendo nossa inequação eliminando termos iguais de lados opostos, temos:
Como chegamos numa inequação verdadeira, então o que supomos é verdadeiro: e portanto, a sequência é crescente.
Passo 4
Será que a sequência é limitada?
Bom, o que limita a sequência inferiormente é o termo , pois a sequência é crescente, então é impossível ter algum número menor do que .
Pra sabermos se ela também é limitada superiormente, temos que calcular o limite:
Dividindo numerador e denominador por para simplificação:
Como leva nossos termos a 0:
Então é limitada superiormente por .
Se ela é limitada inferiormente e superiormente, podemos dizer que é limitada, beleza?
Resposta
Crescente, limitada.