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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 59

Tangente quadrática à função identidade A curva y = a x 2 + b x + c passa pelo ponto 2,1 , tangenciando a reta y = x na origem. Determine a ,   b e c .

Passo 1

Vamos começar lembrando da equação da reta tangente

y - f a = f ' a x - a

Como no exercício a tangente passa pela origem

y - 0 = f ' 0 x - 0

y = f ' 0 x

Comparando com a equação da reta tangente y = x , podemos observar que

f ' 0 = 1

Passo 2

Agora vamos derivar a função y x

y ' = a x 2 + b x + c '

y ' = 2 a x 2 - 1 + b x 1 - 1 + 0

y ' = 2 a x + b

Como y ' = f ' x

f ' x = 2 a x + b

Quando x = 0 → f ' 0 = 1 . Porntanto

1 = 2 a ∙ 0 + b

b = 1

Passo 3

Agora precisamos encontrar a e c . Como os pontos 0,0 e 1,2 pertencem a curva y x , vamos substituir esses pontos na curva.

y = a x 2 + b x + c

y = a x 2 + x + c

y 0 = 0 = a ∙ 0 2 + 0 + c

c = 0

y 1 = 2 = a ∙ 1 2 + 1 + 0

2 = a + 1

a = 1

Prontinho!!!

Resposta

a = 1 ,   b = 1 ,   c = 0

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