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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 44

Determine as derivadas de todas as ordens das funções nos Exercícios 41-44.

y = 4 x 3 + 3 x 2 - x

Passo 1

O exercício pede para obter as derivadas de todas as ordens de f x . Como f x é um polinômio, temos que derivar até obtermos a derivada igual a 0 . Para ficar mais fácil, vamos fazer o chuveirinho:

y = 4 x 3 + 3 x 2 - x

y = 8 x 3 - 4 x 4 + 6 x - 3 x 2

y = - 4 x 4 + 8 x 3 - 3 x 2 + 6 x

Assim, vamos começar obtendo a derivada de ordem 1 de f ( x ) :

y ' = - 4 x 4 + 8 x 3 - 3 x 2 + 6 x '

Como temos uma soma

y ' = f + g + h + i ' = f ' + g ' + h ' + i '

Logo,

y ' = - 4 ∙ 4 x 4 - 1 + 8 ∙ 3 x 3 - 1 - 3 ∙ 2 x 2 - 1 + 6 x 1 - 1

y ' = - 16 x 3 + 24 x 2 - 6 x + 6

Passo 2

Obtendo a derivada de ordem 2:

y ' ' = y ' '

y ' ' = - 16 x 3 + 24 x 2 - 6 x + 6 '

y ' ' = - 16 ∙ 3 x 3 - 1 + 2 4 ∙ 2 x 2 - 1 - 6 x 1 - 1 + 0

y ' ' = - 48 x 2 + 48 x - 6

Passo 3

A próxima derivada é obtida por:

y ' ' ' = - 48 x 2 + 48 x - 6 '

y ' ' ' = - 48 ∙ 2 x 2 - 1 + 48 x 1 - 1 + 0

y ' ' ' = - 96 x + 48

Passo 4

Para obter a derivada de ordem 4:

y ' ' ' ' = - 96 x + 48 '

y ' ' ' ' = - 96 x 1 - 1 + 0

y ' ' ' ' = - 96

Passo 5

E agora? Derivar mais uma vez, rs:

y ' ' ' ' ' = - 96 '

y ' ' ' ' ' = 0

Logo,

y n = 0

Resposta

y ' = - 16 x 3 + 24 x 2 - 6 x + 6

y ' ' = - 48 x 2 + 48 x - 6

y ' ' ' = - 96 x + 48

y ' ' ' ' = - 96

y n = 0 ,   n ≥ 5

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Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado. g x = x 2 + x em p = 1
Calcule a derivada y = 2 + sen ⁡ x x
Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado. y = 1 + x em p = 1
Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado. f x = 1 x + 1 em p = 2
Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado. y = x x em p = 1 (Sugestão. Veja Exemplo 3 - 6.3 . )