Resolva a equação diferencial.

4 * x^3 * y + x^4 * y' = sen^3(x)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial para 4 x^3 y + x^4 y^' = sen^3 x .

Organizando a equação, temos que:

( x^4 y ) ' = sen^3 x

Isso implica que:

x^4 y = int sen^3 x d x

Passo 2

Note que:

int sen^3 x d x = int sen x ( 1 - cos^2 x ) d x

Resolvendo por substituição:

u = cos x

d u = - sen x d x

Então:

int ( 1 - u^2 ) ( - d u )

Isso implica que:

int (u^2 - 1) d u = (1)/(3) u^3 - u + C = (1)/(3) u (u^2 - 3) + C

Voltando para a variável x :

(1)/(3) cos x ( cos^2 x - 3 ) + C

Passo 3

Assim, temos que:

x^4 y = (1)/(3) cos x ( cos^2 x - 3 ) + C

Isso implica que:

y = (1)/(3 x^4) cos x ( cos^2 x - 3 ) + C

Resposta

y = (1)/(3 x^4) cos x ( cos^2 x - 3 ) + C

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