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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 3

3) Uma partícula de massa m   =   1   desloca-se sobre o eixo O x sob a ação da força resultante   F → x =   - x   i → . Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 1   e   v = 2 .

  1. Verifique que, para todo t ≥ 0 ,

    2. x 2 + v 2 = 5

    Onde x = x t   e   v = v ( t )

  2. Qual o máximo valor de x ? Qual o mínimo valor de x ?
  3. Em que posição v é máximo?
  4. Em que posição v é mínimo?

Passo 1

  1. Lá da física, a gente sabe o seguinte:

    F → =   m a →

    Trabalhando na direção   i → :

    m a =   - x →   1 ⋅ a =   - x     ( i )

    Lá da cinemática, temos o seguinte:

    v = d x d t e a = d v d t

    Isolando o d t :

    d t = d x v e d t = d v a

    Igualando, temos:

    a   d x   = v   d v   ( i i )

    Juntando as relações i   e   i i :

    - x     d x = v   d v

    Agora vamos integrar!!

    ∫ x ( 0 ) x ( t ) - x d x = ∫ v ( 0 ) v ( t ) v   d v

    Vamos escolher o limite de integração inferior como t   =   0 , pois temos informações sobre ele 😉

    Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1  

    - x 2 2 - x 0 2 2 =   v 2 2 - v 0 2 2 →   - x 2 2 - 1 2 =   v 2 2 - 2 2 2

    Só mais um pouco de conta!

    - x 2 2 - 1 2 =   v 2 2 - 2 2 2 → x 2 + v 2 = 5

    Ufa, então a relação o item (a) é realmente verdadeira!

    Passo 2

  2. x 2 + v 2 = 5   isolando   v : v 2 = 5 - x 2

    v 2 ≥ 0 → 5 - x 2 ≥ 0   resolvendo a inequação, temos:   - 5 ≤ x ≤ 5

    Logo o valor mínimo de x é - 5 e o valor máximo de x é 5 .

    Passo 3

    Do item anterior:   5 - x 2 ≥ 0 → x 2 ≤ 5

  3. Temos essa seguinte relação v 2 = 5 - x 2 .   Então,

    4. v =   5 - x 2

    Agora pensa comigo, x 2 ≤ 5   e ele ta diminuindo o 5, certo? Então o v será máximo quando x 2 for mínimo (ele vai diminuir menos).

    Logo, quando x 2 = 0 .

      v m á x =   5  

  4. Agora o pensamento vai ser bem parecido!

Agora pensa comigo, x 2 ≤ 5   e ele ta diminuindo o 5, certo? Então o v será mínimo quando x 2 for máximo (ele vai diminuir mais).

Logo, quando x 2 = 5 .

v m í n =   0

Resposta

b) valor mínimo de x é - 5 e o valor máximo de x é 5 .

c) v m á x =   5

d) v m í n =   0

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