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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 19

Uma força eletromatriz.

E t = 120 ,   0 ≤ t ≤ 20 0 ,   t > 20

É aplicada a um circuito L-R em série no qual a indutância é de 20 henrys e a resistência, 2 ohms. Encontre a corrente i ( t ) se i 0 = 0 .

Passo 1

E aí, vamos lá?

Aqui vamos utilizar a equação 6 dessa seção do seu livro, que fala justamente sobre o circuito em série R-C

L d i d t + R . i = E ( t )

Mas vamos resolver essa EDO para duas situações: primeiro para 0 ≤ t ≤ 20 e depois para t > 20

Para 0 ≤ t ≤ 20 :

Nesse caso, temos E = 120   V , R = 2   o h m s e L = 20   H , vamos substituir:

20 d i d t + 2 . i = 120

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d i d t + A t . i = B ( t ) , olha, dividindo tudo por 20 :

d i d t + 1 10 . i = 6     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

i t = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I t = e ∫ A t   d t

Na nossa equação ( I ) , temos A t = 1 10 e B t = 6 então:

I t = e ∫ 1 10   d t

I t = e 1 10 t

Substituindo o que temos na equação ( I I ) :

i t = 1 e 1 10 t ∫ e 1 10 t . 6   d t + c

i t = 1 e 1 10 t 60 . e 1 10 t + c

Então:

i t = 60 + c . e -   1 10 t

Passo 2

Para 0 ≤ t ≤ 20 , temos

i t = 60 + c . e -   1 10 t

Mas aí ele fala que i 0 = 0 , então:

i 0 = 0 = 60 + c . e -   1 10 . 0

60 + c . e 0 = 0

c = - 60

Então:

i t = 60 - 60 . e -   1 10 t ,   0 ≤ t ≤ 20

Passo 3

Para t > 20 :

Para t > 20 , temos E t = 0 , então:

L d i d t + R . i = E ( t )

20 d i d t + 2 . i = 0

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d i d t + A t . i = B ( t ) , olha, dividindo tudo por 20 :

d i d t + 1 10 . i = 0     ( I I I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

i t = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I t = e ∫ A t   d t

Na nossa equação ( I ) , temos A t = 1 10 e B t = 0 então:

I t = e ∫ 1 10   d t

I t = e 1 10 t

Substituindo o que temos na equação ( I I ) :

i t = 1 e 1 10 t ∫ e 1 10 t . 0   d t + c 2

i t = 1 e 1 10 t 0 + c 2

i t = c 2 . e - 1 10 . t

Agora precisamos encontrar o valor de c 2

Passo 4

Para t > 20 , temos

i t = c 2 . e - 1 10 . t

Para encontrarmos o valor de c , vamos pensar o seguinte: que para t = 20 , a corrente ainda vai ser aquela que encontramos para 0 ≤ t ≤ 20 , sabe? Então:

c 2 . e - 1 10 . 20 = 60 - 60 . e -   1 10 20

c 2 . e - 2 = 60 - 60 . e - 2

c 2 = 60 e - 2 - 60

c 2 = 60 e 2 - 60

Então:

c 2 = 60 . ( e 2 - 1 )

Portanto:

i t = 60 . e 2 - 1 . e - 1 10 . t ,   t > 20

Então encontramos as correntes:

i t = 60 - 60 . e -   1 10 t ,   0 ≤ t ≤ 20 60 . e 2 - 1 . e - 1 10 . t ,   t > 20

Resposta

i t = 60 - 60 . e -   1 10 t ,   0 ≤ t ≤ 20 60 . e 2 - 1 . e - 1 10 . t ,   t > 20

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