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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 1j

Calcule

int sqrt(9 - (x - 1)^2) d x

Passo 1

Primeiro precisamos substituir:

u = x - 1 -> d u = d x

A função dentro da integral é:

f (u) = sqrt(9 - u^2)

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo theta como esse:

Agora imagine que um dos catetos vale 3, e o outro cateto vale u , concorda comigo que a hipotenusa vai valer sqrt(9 - u^2) ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que (sqrt(9 - u^2))/(3) = cos theta então (u)/(3) = sin theta -> d x = 3 cos theta d theta

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

int sqrt(9 - u^2) d u = 9 int cos theta xx cos theta d theta = 9 int cos^2 theta d theta

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Vamos agora lembrar que:

cos^2 theta = (1)/(2) (1 + cos 2 theta)

Vamos ficar com:

9 int cos^2 theta d theta = (9)/(2) int (1 + cos 2 theta) d theta

Vamos fazer uma substituição tal que:

w = 2 theta -> d w = 2 d theta

(9)/(2) int (1 + cos 2 theta) d theta = (9)/(4) int (1 + cos w) d w = (9)/(4) [w + sin w] + k

Voltando pra variável theta :

(9)/(4) [w + sin w] + k = (9)/(4) [2 theta + sin 2 theta] + k

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável u , lembrando:

(sqrt(9 - u^2))/(3) = cos theta e (u)/(3) = sin theta -> arcsin (u)/(3) = theta

E que:

sin 2 theta = 2 sin theta cos theta

Assim:

(9)/(4) [2 theta + sin 2 theta] + k = (9)/(4) [2 theta + 2 sin theta cos theta] + k = (9)/(2) [theta + sin theta cos theta] + k =

(9)/(2) [arcsin (u)/(3) + (u)/(3) xx (sqrt(9 - u^2))/(3)] + k = (9)/(2) [arcsin (u)/(3) + u (sqrt(9 - u^2))/(9)] + k

E por fim voltar pra variável x :

(9)/(2) [arcsin ((x - 1))/(3) + (x - 1) (sqrt(9 - (x - 1)^2))/(9)] + k =

(9)/(2) arcsin ((x - 1))/(3) + (x - 1) (sqrt(9 - (x - 1)^2))/(2) + k

Resposta

int sqrt(9 - (x - 1)^2) d x = (9)/(2) arcsin ((x - 1))/(3) + (x - 1) (sqrt(9 - (x - 1)^2))/(2) + k

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