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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 1g

Calcule

int (x^2)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f (x) = sqrt(1 - x^2)

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo theta como esse:

Agora imagine que a hipotenusa vale 2, e um dos catetos vale x , concorda comigo que o outro vai valer sqrt(1 - x^2) ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que (sqrt(1 - x^2))/(1) = cos theta então (x)/(1) = sin theta -> d x = cos theta d theta

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

int (x^2)/(sqrt(1 - x^2)) d x = int (sin^2 theta)/(cos theta) xx c o s theta d theta = int sin^2 theta d theta

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Podemos, agora, integrar:

int sin^2 theta d theta

Lembrando que:

sin^2 theta = (1)/(2) (1 - cos 2 theta)

int sin^2 theta d theta = int (1)/(2) (1 - cos 2 theta) d theta = (1)/(2) int (1 - cos 2 theta) d theta

Se fizermos a substituição:

u = 2 theta -> d u = 2 d theta

Então:

(1)/(2) int (1 - cos 2 theta) d theta = (1)/(2) int (1)/(2) (1 - cos u) d u = (1)/(4) int (1 - cos u) d u = (1)/(4) (u - sin u) + k

Voltando pra variável theta :

(1)/(4) (u - sin u) + k = (1)/(4) (2 theta - sin 2 theta) + k = (theta)/(2) - (sin 2 theta)/(4) + k

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , pra isso vamor lembrar que:

sqrt(1 - x^2) = cos theta e x = sin theta -> arcsin (x) = theta

E que:

sin 2 theta = 2 sin theta cos theta

Assim:

(theta)/(2) - (sin 2 theta)/(4) + k = (theta)/(2) - (1)/(4) xx 2 sin theta cos theta + k

(theta)/(2) - 2 sin theta cos theta + k = (arcsin x)/(2) - (x)/(2) sqrt(1 - x^2) + k

Temos, então:

int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x = (arcsin x)/(2) - (x)/(2) sqrt(1 - x^2) + k

Resposta

int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x = (arcsin x)/(2) - (x)/(2) sqrt(1 - x^2) + k

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